Quadrilatère: calcul du segment manquant, côtés ou diagonales

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		Sommaire de cette page >>> Étapes de raisonnement >>> Aire par la méthode des triangles >>> Méthode trigonométrique >>> Calcul analytique >>> Calcul par approximations >>> Bilan

QUADRILATÈRE & SEGMENTS

Longueur du sixième segment

Le quadrilatère est caractérisé par la longueur de ses quatre côtés et de ses deux diagonales. En fait, seuls cinq de ces paramètres suffisent. Comment calculer le sixième?

La résolution trigonométrique nécessite la manipulation de lignes trigonométriques, mais c'est sans doute la plus simple >>>

La résolution analytique n'est pas simple (racines carrées de polynômes du quatrième degré). On va donner une méthode d'approche sur un exemple >>>

Dans un premier temps, on étudie un quadrilatère complètement connu pour élaborer les formules et, dans un second temps, on cherche l'inconnu.

Étapes du raisonnement
Un quadrilatère convexe quelconque ABCD. Longueur des côtés: a, b, c et d. Longueur des diagonales: p et q. Connaissance du quadrilatère 1) Nous allons calculer la longueur des six segments en utilisant la figure et le théorème de Pythagore. 2) Calcul de l'aire du quadrilatère par la méthode des triangles. Calcul du segment manquant 3) Méthode trigonométrique (loi des cosinus). 4) Méthode analytique (équations). 5) Méthode de résolution par approximations successives.
Tableau des valeurs (exemple) Par exemple pour calculer a, on compte 11 carreaux en x et 10 carreaux en y. Alors: a² = 11² + 10² = 221 La valeur notée s est celle du demi-périmètre du quadrilatère On donne en bas du tableau, le résultat du calcul de l'aire du quadrilatère selon deux méthodes: générale et Bretschneider

Méthode trigonométrique – Calcul de q
La méthode consiste à évaluer q par l'angle alpha qui l'intercepte. C'est la loi des cosinus (ou formules d'Al Kashi) qui va nous aider à trois reprises. Faisant appel au calcul d'arc-cosinus, il n'est pas possible de donner une formule littérale à la valeur de q. Nous allons effectuer les calculs avec les chiffres de l'exemple précédent.
Avec l'angle alpha				a = 14,866 b = 13,928 p = 21,541 c = 15,811 d = 21,471 q = ?
Avec l'angle alpha 1				(40,42°)
Avec l'angle alpha 2				(40,21°)
Avec l'angle alpha				q² = 600,9999… q = 24,515
Détails du calcul Restart est une sécurité. Cette instruction efface toutes les données dans les mémoires (= clear des calculettes). Les cinq premières lignes reprennent le calcul des longueurs à partir des coordonnées de la figure. A1 est le cosinus de l'angle alpha1 et A11 la valeur de l'angle en faisant appel à l'arc-cosinus. Pour information, la valeur de l'angle en degré. A2 et A22 sont relatifs à l'angle alpha 2. L'angle alpha est la somme des deux. Q2 est le carré de la diagonale q dont on calcule la racine carrée (square root).

Vers une formule algébrique complète

Expression des sinus

Expression de q²

Finalisation

Commentaires

Il y a deux solutions, ce qui est normal, puisque les deux triangles a-d-p et b-c-p peuvent aussi être partiellement superposés.

Si l'on débarrasse cette relation des radicaux, et qu'on développe, on trouve un polynôme de degré 6 en 6 variables, qui est le déterminant de Cayley-Menger, relation entre les six distances de quatre points coplanaires.

Merci à Patrick Pradeau pour m'avoir indiqué cette méthode complète de calcul

Aire par la méthode des triangles

L'aire du triangle quelconque est égale à:

Nous allons nous en remettre à l'égalité des aires indiquée ici:

Tableau de calculs

Nous retrouvons bien les valeurs précédente (260) pour la valeur de l'aire.

Avec le calcul de l'aire du quadrilatère par la somme des triangles, nous disposons de deux évaluations; de deux expressions égales.

Calcul de q, seule longueur inconnue – Analytique
Supposons que q soit le fameux segment inconnu. Les formules 3 et 4 permettent de calculer l'aire du quadrilatère; et Les formules 1 et 2 permettent le calcul de la seule inconnue q.	Dans l'équation A1 = A2, q est la seule inconnue. En principe, sa valeur est calculable. Mais, c'est horriblement compliqué.
Le calcul conduit à:
La résolution de A1 = A2 donne deux valeurs (outre deux valeurs négatives).	q = 25,51 celle que nous cherchons, et q' = 21,25 une valeur artefact
Commentaires Avec les diagonales p ou q le calcul n'est pas simple, il est encore plus compliqué pour l'un des côtés, car chacun participe à chacune des évaluations de l'aire.	L'artefact (solution non désirée) est due au fait qu'il peut y avoir une inversion de l'un des quatre triangles. Par exemple avec un retournement du triangle ACD, la quadrilatère deviendrait ABCD'.

Calcul de a, seule longueur inconnue – Approximations

La méthode consiste à utilise un tableur. Avec une calculette, ce serait encore fastidieux! Mieux un logiciel de calcul comme Maple.

Une idée de disposition des calculs

Nous introduisons les cinq longueurs connues dans la zone d'entrée (encadré vert).

Puis, une valeur devinée dans la sixième case

En rouge, l'évaluation des deux aires qui doivent être identique.

Par ajustement de la valeur, obtenir l'écart le plus petit possible.

Accès au tableur >>>

Note: Pour faciliter l'encadrement, deux solutions sont implémentée. Les deux résultats permettent de mieux apprécier la réduction de l'écart.

Attention, les diagonales peuvent prendre deux valeurs. Si l'exercice est théorique, on donne les deux valeurs possibles. S'il s'agit d'un cas pratique (arpentage), on prendra la valeur la plus vraisemblable.

Bilan

Calculer la longueur d'un segment (côtés ou diagonales) d'un quadrilatère quelconque est réalisable, connaissant les cinq autres. Les deux méthodes exposées ont leur mérite. Dans les deux cas, une calculette scientifique ou un logiciel de calcul sont nécessaires.