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Édition du: 25/12/2023 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Résolution Triangle	Triangles – Relations
	Résolution	Formules	Loi des sinus	Loi des cosinus
	Formules avancées		Hypoténuse

Triangles – Loi des SINUS Belles proportions entre les longueurs des côtés du triangle et les sinus de ses angles.
	Sommaire de cette page >>> Loi des sinus >>> Démonstration >>> Loi des sinus mariée à celle des cosinus >>> Triangle rectangle et Pythagore	Débutants Triangles Glossaire Triangles

Loi des sinus		haut
Triangle Un triangle quelconque ABC. Notations usuelles des angles et des côtés. Son aire A. Son cercle circonscrit de rayon R et diamètre D. Une des hauteurs h. Loi des sinus
En 1670, Jean Picard (1620-1682) mesure le degré de méridien terrestre. Cette formule est à la base de ses calculs: le rapport d'un côté au sinus de l'angle opposé est constant. Il obtient 57 057 toises soit 40 033 km pour la longueur du méridien. Valeur d'aujourd'hui: 40 007, 864 km Voir Denis Guedj / Sphère terrestre

Démonstration		haut
Démonstration via les hauteurs	Procédé La loi des sinus n'est finalement qu'un moyen commode (et esthétique) de ne pas reprendre le calcul via les hauteurs à chaque fois. Rappel du calcul des proportions
Démonstration via le calcul de l'aire (S) L'aire du triangle peut s'exprimer de trois façons en prenant les trois hauteurs. La suite consiste à multiplier ces expressions par 2 / abc. De la sorte, on obtient également la valeur du rapport en fonction de l'aire.

Loi des sinus mariée à celle des cosinus	haut
Valable pour deux autres identités par permutations circulaire des angles.

Voir Loi des cosinus

Triangle rectangle et Pythagore		haut
Triangle rectangle La loi des sinus devient: On retrouve le fait que BC est un diamètre du cercle circonscrit: a = 2R. On retrouve également le théorème de Pythagore qui s'applique au triangle rectangle en exprimant les carrés des côtés à partir de la loi des sinus. Notons que la loi des sinus a été démontrée sans le théorème de Pythagore. Ouf, on ne tourne pas en rond !	Notations Un angle droit en A et deux angles complémentaires en B et C. Théorème de Pythagore (immédiat !) Rappel: sin² + cos² = 1.
Application numérique Dans le triangle rectangle ABC (3, 4, 5) Angle en B = arctan (3/4) = 36,8698976458… Sin B = cos C = 0,6 Sin C = cos B = 0,8 Loi des sinus 5 = 3 / 0,6 = 4 / 0,8

Voir Réciproque du théorème de Pythagore avec la loi des cosinus

Voir Démonstration du théorème de Pythagore (loi des sinus) et sa réciproque par M. Gourine

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Retour	Formules dans le triangle
Suite	Loi des cosinus Application au partage du cercle Application au calcul d'angles dans le quadrilatère croisé Formules avancées dans le triangle quelconque Formule de Héron et sa démonstration
Voir	Aire de la projection des triangles Cercle Géométrie Polygone Quadrilatère et diagonale inconnue Relations trigonométriques – Formulaire Résolution du triangle LLL (trois côtés connus) Triangle - Index Triangle – Introduction Trigonométrie
Sites	Loi des sinus – Wikipédia Law of Sines – Wolfram MathWorld The Law of Cosines – Cut-the-knot – A. Bogomolny
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Calcul/LoiSinus.htm