théorie des nombres, équations du troisième degré

Avant de vous lancer dans les calculs longs et fastidieux de résolution des équations du troisième degré, vérifiez qu'il n'y a pas une racine évidente >>>

Avant de me lancer, je voudrais me familiariser avec ce genre d'équations >>>

Cas de la valeur 4 vue par Bombelli
Voici un cas pour se familiariser à la résolution des équations du troisième degré. Des valeurs étranges en racines cubiques de racines carrées de nombres négatifs! Confrontés à ces bestiaux, les mathématiciens des années 1500 ont eu du mérite à trouver les solutions. Ce fut une recherche sur fond de secrets et de coups tordus.
En 1560, Bombelli cherche à résoudre l'équation indiquée.	x³ = 15 x + 4
Il a l'intuition que la racine doit être de la forme:	2 + a . i (notation moderne avec les complexes).
Cette expression au cube donne.	8 – 6a² + i (12a – a³)
À égaler avec la partie sous radical.	8 – 6a² + i (12a – a³) = 2 + 11 i 8 – 6a² + i (12a – a³) = 2 + 11 i
En égalant séparément la partie réelle et la partie imaginaire.	8 – 6a² = 2 12a – a³ = 11
Ce qui donne:	a = 1
Bilan:	(2 + i)³ = 2 + 11 i
En replaçant dans la formule initiale:
On vérifie que 4 est bien solution de l'équation étudiée:	4³ = 15 x 4 + 4 = 64

Cette formule en avec N entier est rare.

En voici deux autres:

Toutes les valeurs pour a et b jusqu'à 1000, b étant un carré

Quelques unes des rares valeurs, b NON-carré

Voir Conjugués complexes / Nombre 4 / Nombre 6 / Nombre 12

Équation du 3^e degré – Formules de résolution


	Trois racines réelles.
	Une solution réelle et deux racines complexes conjuguées.
	Racine simple et racine double.

Voir Exemples pratiques

Expression complète

Attention les coefficients a, b, c et d ne sont pas ceux indiqués ci-dessus.
Ici, a est le coefficient de x³. et non celui de x².

Merci à Joseph P. pour sa contribution

Résolution trigonométrique

On pose

L'équation devient

Et les racines

avec k = {1, 2, 3}

Voir Trigonométrie

Programmation directe

Calcul direct avec l'instruction solve

NB. "a" est le coefficient de x³.

To solve en anglais veut dire résoudre.

Réinitialisation générale.

Définition des coefficients.

Définition de l'équation A.

Résolution en x de l'équation A.

Et, évaluation numérique (flottante) des solutions.

Affichage des trois solutions: 1, 2 et 3

Vérification par factorisation

(x – 1)(x – 2)(x – 3)

= (x – 1) (x² – 3x – 2x + 6)

= (x – 1) (x² – 5x + 6)

= x³ – 5x² + 6x – x² + 5x – 6

= x³ – 6x² + 11x – 6

Vérification avec les racines

x³ – 6x² + 11x – 6

Pour x = 1 => 1 – 6 + 11 – 6 = 0

Pour x = 2 => 8 – 24 + 22 – 6 = 0

Pour x = 3 => 27 – 54 + 33 – 6 = 0

Voir Résolution avec tableur / Programmation

Programmation de la formule de calcul

Attention à la définition des coefficients

Réinitialisation générale.

Définition des coefficients.

Calcul des variables intermédiaires p et q.

On pose K la somme du carré et du cube.

Calcul des variables intermédiaires u et v.

L'instruction surd (radical en anglais) calcule la racine énième d'une valeur; ici la racine troisième.

Voir Explications

Calcul des racines et évaluation numérique.

Affichage des trois racines avec la partie réelle et la partie imaginaire nulle.

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Voir	Algorithme d'Héron Équation de Pell Méthode de Newton Système d'équations particulier
Sites	Vous introduisez les coefficients et la réponse est immédiate. Solve cubic equation – Wolfram Cubic equation calculator
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