|
Équation fallacieuse, mais astucieuse !
|
Voir Pensées et Humour
ÉQUATIONS La recherche de
leurs solutions a marqué plusieurs étapes dans la vie des nombres. On a
cherché des nombres entiers, réels puis imaginaires (complexes), etc. Houp! Tout cela m'a
toujours parut très compliqué! Alors, allez voir
les sujets suivants: |
|
|||
1ER DEGRÉ ax
+ b = 0 |
|
||
QUADRATIQUE ax²
+ bx + c = 0 |
Voir Puzzle du fermier |
||
CUBIQUE ax 3
+ bx²+... |
Voir Nombre 2,094 |
||
|
QUARTIQUE ax4
+ bx3 +... |
|
|
|
ax5
+ bx4 + ... |
Voir Naissance de
l'algèbre moderne / Résolution
d'un cas particulier / Symétries et
solvabilité des équations / Hermite |
|
TOUR D'HORIZON – Deux
inconnues |
|
||
ax
+ by + c = 0 |
|
||
ax + by
+ c = 0 a'x + b'y + c' = 0 |
|
||
TOUR D'HORIZON – Autres:
Diophantienne, Pell … |
|
||
Autres
formes &
Types de résolution |
Voir le lien indiqué qui conduit à |
||
Avec
inconnue en exposant |
Nécessité de recourir aux logarithmes. |
||
Voir Équations avec des radicaux
|
|||||
Sumériens
Au
XVIe siècle
Par
la suite
Au
début du XIXe siècle
la
théorie des groupes,
qui
étudie la symétrie
d'une manière générale, et en particulier celle des racines des polynômes. Voir Groupes Historique |
|||||
1er degré Linéaire |
2e (second) |
3e |
4e |
5e et + |
|
Aide logicielle à la résolution des équations
Les logiciels mathématiques (Maple, Mathematica, …) et les calculateurs d'équations sur
Internet (équation
calculator2) sont capables de résoudre de nombreuses équations. L'intelligence
artificielle prend le relais pour les cas compliqués. En 2020, une IA a
réussi à résoudre 99,7% des 100 millions d'équations proposées quand un
logiciel classique avait réussi à 84%. |
|
|
On s'intéresse aux polynômes
P(x) de degré n et à l'équation P(x) =
0. L'équation du 5e degré n'a pas de solution analytique. Il existe des
polynômes de degré supérieur ou égal à cinq et à coefficients complexes dont
les racines ne s'expriment pas par radicaux. Le groupe
symétrique Sn n'est pas solvable pour n > 4.
Plus généralement, ce théorème indique qu'une équation à
coefficients entiers, rationnels, réels ou complexes admet au moins une
racine complexe.
Abel démontre qu'il n'existe pas de formule permettant la résolution
systématique des équations quintiques. Il essaie de caractériser les solutions
lorsqu'elles existent. Mort trop tôt, c'est Galois
qui va s'attaquer à cette tâche. Il aura l'idée de traiter le problème via
les symétries des
solutions des équations. Jusqu'au degré quatre, les symétries sont
"sages", régulières; par contre, à partir de cinq, "ça
dérape!". |
|
|||
Exemple
de problème |
Traduction
en équation |
|
|
Énoncé Trouvez
le nombre tel que
Solutions -2,5 et 5 |
Moderne |
2
x² – 5 x = 25 |
|
Nicolas
Chuquet 1470 |
22
m 51 égault a 25 |
||
Cardan 1545 |
duo quad.m qumque
reb. aequalis 25 |
||
Stiffel 1525 |
2z aequatus 5x + 25 |
||
Pierre
de la Ramée 1586 |
2q – 5l aequatus
sit 25 |
||
Harriot 1631 |
2au
– 5a = 25 |
||
1637 |
2zz
– 5z ¥ 25 |
||
D'après Encyclopédie des jeunes - Larousse
Graphique de cette équation (ci-dessus) |
|
Les racines (– 2,5 et 5) se trouvent à l'intersection de l'axe des x avec
la courbe. |
Suite |
|
Voir |
|
Cette page |