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Édition du: 21/09/2022 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Géométrie Pentagone	Nombre d'or
	Tour d'horizon	Valeurs	Phi et Fibonacci	Proportion
	Introduction	Formules	Puissances	Construction
	Historique	Fraction continue	Trigonométrie	Géométrie
	Pentagone	Série et nombre d'or

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Séries et nombre d'or Présence du nombre d'or dans le pentagone. Cette constante est au pentagone ce qu'est la constante Pi pour le cercle. Nous examinons ici l'association de pentagones et les relations entre les puissances du nombre d'or ou de son inverse. Par exemple, le nombre d'or est égal à la somme infinie des puissances successives de son inverse (Illustration).
	Sommaire de cette page >>> Relations principales >>> Pentagones gigognes >>> Spirales >>> Séries avec les inverses du nombre d'or >>> Relations et séries avec le nombre d'or	Débutants Géométrie Glossaire Nombre d'or

Voir Nombre d'or et pentagone

Relations principales	haut
Segment dans le pentagone Dans un pentagone de côté unité, les diagonales sont égales au nombre d'or (1,6180…). Les branches de l'étoile sont égales à l'inverse du nombre d'or (0,6180…). Le côté du pentagone interne à l'étoile vaut l'inverse du carré du nombre d'or (0,3819…) Diagonales et leurs relations avec le nombre d'or Le nombre d'or dans le pentagone Voir Autres valeurs dans le pentagone

Pentagones gigognes	haut
Le pentagone central, le plus petit est de côté unité.

Voir Puissances du nombre d'or Phi (Phi² = Phi + 1) / Nombres de Fibonacci

Spirales

haut

Spirale construite sur les côtés des pentagones gigognes. Le pentagone le plus grand est de côté unité. Les branches successives de la spirale valent une puissance de l'inverse du nombre d'or. La longueur limite de la spirale est la valeur de convergence d'une série Spirale construite par empilement des pentagones gigognes La spirale précédente (bleue) est reproduite en lui adjoignant une grand diagonale Ces deux spirales ont même longueur limite. Voir calcul ci-dessous

Voir Brève 46-919

Séries avec les inverses du nombre d'or		haut
Somme des inverses	Propriété utilisée Démonstrations Progression géométrique de raison 1/phi et de premier terme 1:
Somme des inverses pairs	Progression géométrique de raison 1/phi² et de premier terme 1:
Somme des inverses impairs	Progression géométrique de raison 1/phi² et de premier terme 1/phi:

Merci à Fernand Marsal pour ses suggestions

Quelques relations et séries avec le nombre d'or

Voir Nombre d'or et ses puissances / Nombres de Catalan / Nombres de Fibonacci

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Retour	Pentagone et étoile Spirale de Fibonacci	Spirale logarithmique Spirale des quatre souris
Suite	Construction du pentagone – Toutes les méthodes Diagonales du pentagone (et autres) Dissection du pentagone Pentacle Pentagone à colorier Pentagone dans le cube	Pentagone de Reuleaux Pentagone et nombre d'or Pentagone et phyllotaxie Quizz géométrie – Illustration Solution des équations quintiques Triangles dans le pentagone
Voir	Angle Étoile à 6 branches Étoile et nombre d'or – Approche Fleurs à 5 pétales Étoiles qui grossissent Géométrie – Bases	Géométrie – Index Nombre d'Or Nombres étoilés Pentagone et racines de 1 Polygones
Sites	Spirale d'Anna Kinzler – Les mathématiques.net Pentagon spirals – Wolfram Demonstration Project Polygon Spirals – Nick Mendler Infinite Series Representation for the golden ratio φ! – Flammable Maths – Vidéo YouTube Beautiful infinite series representation of golden ratio – Paulo Sergio – Vidéo YouTube
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/NbOrPent.htm