NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 06/01/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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RACINES CONTINUES et NOMBRE D'OR

Magie: transformation du 1 en or!

Racine continue du nombre d'or

Problème posé en classe de troisième Calculer la valeur de b Réponse 1) Il faut savoir deux choses sur le nombre d'or: Sa valeur et la propriété de son carré: Explications: Le nombre d'or (Phi) est la solution de l'équation: x² – x – 1 = 0 Quant à son carré, il se calcule facilement: Avec le développement du carré: (a + b)² = a² + 2ab + b² 2) Avec cela, on simplifie progressivement l'expression En remplaçant d'abord Phi par son symbole et Ensuite, en remplaçant racine de (1+ Phi) par Phi: (les rouges se correspondent et les jaunes aussi, alternativement)

Calcul et convergence
Le nombre d'or est ainis égal à la racine de 1 plus racine de 1 + … autant de fois que l'on veut.
Avec la notation r1 pour chaque itération en "racine de 1 +".	= "r1+ r1 + r1 + r…"
Après 12 itérations: Écart = 0, 000 001 666

Théorème

Tout nombre entier N est exprimable sous forme d'une racine continue dont la valeur sous le radical est égale à n = N² - N

Voir Ramanujan / Racines continues

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