racines continues - expression du nombre d'or

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RACINES CONTINUES et NOMBRE D'OR

Magie: transformation du 1 en or!

Racine continue du nombre d'or

Problème posé en classe de troisième

Calculer la valeur de b

Réponse

1) Il faut savoir deux choses sur le nombre d'or:

Sa valeur et la propriété de son carré:

Explications:

Le nombre d'or (Phi) est la solution de l'équation: x² – x – 1 = 0

Quant à son carré, il se calcule facilement:

Avec le développement du carré: (a + b)² = a² + 2ab + b²

2) Avec cela, on simplifie progressivement l'expression

En remplaçant d'abord Phi par son symbole et

Ensuite, en remplaçant racine de (1+ Phi) par Phi:

(les rouges se correspondent et les jaunes aussi, alternativement)

Calcul et convergence
Le nombre d'or est ainis égal à la racine de 1 plus racine de 1 + … autant de fois que l'on veut.
Avec la notation r1 pour chaque itération en "racine de 1 +".	= "r1+ r1 + r1 + r…"
Après 12 itérations: Écart = 0, 000 001 666