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TRIANGLE de REULEAUX

Triangle équilatéral flanqués de segments de cercles.

Sur chaque côté, on dessine le segment de cercle avec le sommet opposé comme centre et la longueur du côté comme rayon.

Propriété: le triangle de Reuleaux est une figure à largeur constante (tous les diamètres ont la même longueur).

Parmi les courbes d'égale longueur, cette courbe de Reuleaux est celle qui présente l'aire minimale (Théorème de Blaschke et Lebesgue).

Applications: moteurs rotatifs; plaques d'égout ne pouvant pas tomber dans le trou, habituellement rondes, elles peuvent être aussi de cette forme; mèches qui forent des trous carrés (aux coins arrondis).

Franz Reuleaux (1829-1905) ingénieur et technologue allemand.

Calcul de l'aire en images

Le périmètre est celui du demi-cercle.

Comparaison des aires
Aire cercle rose (diamètre R) Aire cercle bleu (diamètre a) Aire du triangle de Reuleaux (côté a) Aire du triangle équilatéral bleu (hauteur a) Aire du triangle équilatéral (côté a)
Aire d'un segment jaune

Densité

En 2013, H.L Resnikoff a prouvé que la densité d'une certaine manière d'arranger les triangles de Reuleaux atteignait 0,923, dépassant la compacité des cercles (0,9069…). Il conjecture qu'il s'agit de la densité maximale.

Source: On curves ans surface of constant width – H.L. Resnikoff

Généralisation
Tous les polygones réguliers avec un nombre impair de côtés peuvent être transformés en polygones de Reuleaux. L'arc de cercle apposé à un côté est centré sur le sommet opposé. Illustration avec le pentagone régulier
Il est possible de construire une figure de Reuleaux – une figure à largeur constante – à partir d'une série de droites sécantes, en choisissant bien les centres des arcs de cercle.

English corner

In the 19thcentury the German engineer Franz Reuleaux discovered a new type of triangle now referred to as a Reuleaux Triangle. It is constructed by drawing an equilateral triangle of side-length s and then drawing three circles of radius s each centered at the three vertexes of the original triangle. The Reuleaux triangle is a constant width curve that is based on an equilateral triangle, where all points on a side are equidistant from the opposite vertex. This so-called equilateral curve-triangle is the simplest non-circular curve that has a constant width, as proposed and analyzed by Franz Reuleaux. In general, any regular polygon with an odd number of sides can be used as the basis for a Reuleaux polygon of constant width.

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Sites	Triangle de Reuleaux – Wikipédia Courbe auto-parallèle, courbe de largeur constante - Robert Ferréol, Samuel Boureau, Alain Esculier Le Triangle de Reuleaux – CNRS, images de mathématiques Triangle de Reuleaux – Vidéo animation Reuleaux Triangle – Wolfram MathWorld Shapes of constant width – Cut-The-Knot Surfaces and curves of constant width – Advanced geometry – D. Shelomovskii The Reuleaux Collection of Kinematic Mechanisms at Cornell University – Reuleaux et ses mécanimes
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