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TRIANGLE
de REULEAUX Triangle équilatéral flanqués de segments de
cercles. Sur chaque
côté, on dessine le segment de cercle avec le sommet opposé comme centre et
la longueur du côté comme rayon. Propriété: le triangle
de Reuleaux est une figure à largeur constante
(tous les diamètres ont la même longueur). Parmi les
courbes d'égale longueur, cette courbe de Reuleaux
est celle qui présente l'aire minimale (Théorème de Blaschke et Lebesgue). Applications: moteurs rotatifs;
plaques d'égout ne pouvant pas tomber dans le Franz Reuleaux (1829-1905)
ingénieur et technologue allemand. |
Le périmètre est celui du demi-cercle.
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Aire cercle
rose (diamètre R)
Aire cercle
bleu (diamètre a)
Aire du triangle
de Reuleaux (côté a)
Aire du
triangle équilatéral bleu (hauteur a)
Aire du
triangle équilatéral (côté a)
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Aire d'un
segment jaune
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En 2013, H.L Resnikoff a prouvé que la densité d'une
certaine manière d'arranger les triangles de Reuleaux
atteignait 0,923, dépassant la compacité des
cercles (0,9069…). Il conjecture
qu'il s'agit de la densité maximale.
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Source: On curves
ans surface of constant width – H.L. Resnikoff
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Tous les
polygones réguliers avec un nombre impair de côtés peuvent être
transformés en polygones de Reuleaux. L'arc de
cercle apposé à un côté est centré sur le sommet opposé. Illustration
avec le pentagone
régulier |
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Il est
possible de construire une figure de Reuleaux – une figure à largeur constante – à partir d'une série
de droites sécantes, en choisissant bien les centres des arcs de cercle. |
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English corner |
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In the 19thcentury the
German engineer Franz Reuleaux discovered a new
type of triangle now referred to as a Reuleaux Triangle.
It is constructed by drawing an equilateral triangle
of side-length s and then drawing
three circles of radius s each
centered at the three vertexes of the original
triangle. The Reuleaux
triangle is a constant width curve that is based on an
equilateral triangle, where all points on a side are equidistant from the
opposite vertex. This so-called equilateral curve-triangle is the simplest non-circular
curve that has a constant width, as proposed and analyzed by Franz Reuleaux.
In general, any regular polygon with an odd number of sides can be used as
the basis for a Reuleaux polygon of constant width. |
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