NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRE D'OR

 

Glossaire

NOMBRE

D'OR

 

 

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Suite de Fibonacci

 

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Phi et Fibonacci

Proportion

Introduction

Formules

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Construction

Historique

Fraction continue

Trigonométrie

Géométrie

 

Sommaire de cette page

>>> Nombre d'or et nombres de Fibonacci

>>> Phi & suite de Fibonacci

>>> Série infinie

>>> Suite de Fibonacci et de Lucas

>>> Série de Fibonacci

 

 

 

 

Nombre d'or et

ses relations avec

la suite de Fibonacci

 

 

*    On sait déjà que le rapport entre deux termes successifs de la suite de Fibonacci converge vers le nombre d'or lorsque les termes deviennent très grands.

*    Nous allons explorer d'autres propriétés.

 

Nombre d'or comme limite du rapport entre nombres de Fibonacci

Propriété

Le rapport entre deux nombres de Fibonacci successifs tend vers le nombre d'or lorsque ces nombres tendent vers l'infini.

   

Explications

Prenons trois nombres de Fibonacci successifs comme 3, 5 et 8 et leurs deux rapports: 5/3 = 1,666… et 8/5 = 1,6.

Ces deux rapports sont décroissants et cette propriété est valable pour la suite de Fibonacci.

On a ainsi deux rapports tels que a/b < c/d.

Dans ce cas, on sait trouver une fraction médiane:

 

 

 

Avec les nombres de Fibonacci:

 


Les suivants, en reprenant la fraction médiane que nous venons d'obtenir:


 

Convergence

Progressivement, la fraction médiane est enfermée dans un intervalle qui se réduit. Elle converge vers 1, 618 …, le nombre d'or.

 

Le tableau montre (code couleur) la naissance et la destinée de chacun des rapports. Une fraction naissante (au centre) devient soit la plus petite des deux lignes suivantes ou la plus grande.

 

Convergence vers le nombre d'or

Nous savons que Fn+1 / Fn converge vers une constante k, mais quelle est sa valeur ?

 

De sorte qu'en tendant vers l'infini, on a:

 

Équation dont l'une des racines est le nombre d'or.

 

  

PHI & SUITE DE FIBONACCI

 

Puissance de Phi et Fibonacci en formule – Suite d'or

 

 

Φ 1

Φ 2

Φ 3

Φ 4

Φ 5

Φ 6

= Φ

= Φ + 1

= 2Φ + 1

= 3Φ + 2

= 5Φ + 3

= 8Φ + 5

 

 

= Φ 1 + Φ 2

= Φ 2 + Φ 3

= Φ 3 + Φ 4

= Φ 4 + Φ 5

Voir Puissances de Phi

 

Φ n = Φ n-1 + Φ n-2 = a Φ + b

ou a et b sont des suites de Fibonacci.

 

La suite des nombres de Fibonacci est la seule suite ayant les deux propriétés:

Un+1 = Un + Un-1

 

 

Développement de Phi et Fibonacci:

 

Si on calcule Φ avec le développement de sa fraction continue:

 

Φ = 1+ 1/ (1+ (1/  ...

 

1/1

2/1

3/2

5/3

8/5

13/8

21/13

...

 

On retrouve au numérateur et dénominateur la suite de Fibonacci. Ces formes sont appelées les réduites du nombre d'or.

 

Voir Tour de magie exploitant cette propriété

 

 

 

Séries infinies

 


 

 

 

 

SUITE DE FIBONACCI ET DE LUCAS

 

Le rapport entre deux nombres de Fibonacci consécutifs tend vers le nombre d'or.



Le nombre d'or sévit également avec la cousine de la suite de Fibonacci, la suite de Lucas:

*    Chaque terme est également la somme des deux précédents; et

*    Le départ est constitué de deux nombres pris au hasard (traditionnellement 1 et 3), alors que c'est 1 et 1 pour Fibonacci.

 

Exemples

 

Fibonacci

Lucas

Lucas négatif

Suite

Rapport

Écart

Suite

Rapport

Écart

Suite

Rapport

Écart

1

 

x 109

3

 

x 109

-1

 

x 109

1

 

 

7

 

 

-5

 

 

2

2,00

 

10

1,43

 

-6

1,20

 

3

1,50

 

17

1,70

 

-11

1,83

 

5

1,66

 

27

1,59

 

-17

1,55

 

8

1,6

 

44

1,63

 

-28

1,65

 

13

1,625

 

71

1,614

 

-45

1,607

 

21

1,615

 

115

1,620

 

-73

1,622

 

34

1,619

 

186

1,617

 

-118

1,616

 

55

1,6176

 

301

1,6183

 

-191

1,619

 

89

1,6182

 

487

1,6179

 

-309

1,6178

 

144

1,61798

 

788

1,6181

 

-500

1,6181

 

233

1,61806

 

1275

1,61802

 

-809

1,61800

 

377

1,61803

-8238

2063

1,61804

5227

-1309

1,61805

12983

610

1,61804

3147

3338

1,618032

-1997

-2118

1,61803

-4959

987

1,618033

-1202

5401

1,618035

763

-3427

1,618036

1894

1597

1,6180344

459

8739

1,6180337

-291

-5545

1,618033

-724

2584

1,6180338

-175

14140

1,6180341

111

-8972

1,6180343

276

4181

1,6180341

67

22879

1,6180339

-42

-14517

1,6180339

-106

6765

1,61803396

-26

37019

1,61803400

16

-23489

1,61803403

40

10946

1,61803400

10

59898

1,61803398

-6

-38006

1,61803397

-15

17711

1,61803399

-4

96917

1,61803399

2

-61495

1,61803399

6

28657

1,61803399

1

156815

1,61803399

-1

-99501

1,61803399

-2

46368

1,61803399

-0,5

253732

1,61803399

0,3

-160996

1,61803399

0,9

 

Nombre d'or = 1,6180339887…

   

La vitesse de convergence du rapport de deux nombres successifs vers le nombre d'or est quasiment identique en Lucas comme en Fibonacci:   < 1/ 1 milliard après 25 termes.

 

 

 

 

Suite de Fibonacci généralisée

 

*    Suite qui reprend la formule de Binet avec des coefficients au choix. Elle s'exprime aussi avec le nombre d'or (Phi):

 

 

Voir Développements et exemples

 

 

Merci à Jamila B. pour ses remarques

 

 

 

 

 

Suite

*    Modulor

*    Nombre d'or dans le bras

*    Nombre d'or dans les doigts

*    Puissances de Phi et Fibonacci

*    Valeurs du nombre d'or

*    Suite binaire dorée

*    Vitruve (l'homme de -)

Voir

*    Cercle

*    Constante Pi

*    Constantes Mathématiques

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*    Série du type Fibonacci et cousins

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