NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 13/01/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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	Sommaire de cette page >>> Équation >>> Limite >>> Fractions continues  >>> Fractions d'or & fractions continues >>> Chaîne dorée >>> Phi et trigonométrie

Nombre d'or – FORMULES

Vieille énigme

Quels sont deux nombres p et q dont:

le produit,

la différence de leurs carrés et

le quotient de leurs cubes

sont tous égaux ?

Solution

Voir Brève 57-1123 / Nombre Phi³ = 4,236…

Équations
x² – x – 1 = 0 x^2 – x^1 – x^0 = 0	Le nombre d'or est racine réelle de cette équation. C'est donc un nombre réel algébrique, mais non transcendant.
1 / Φ = Φ - 1 Φ = 1 + 1 / Φ Φ^2 = Φ + 1 Φ^3 = 2 Φ + 1 = ( Φ + 1) / ( Φ - 1)	Relations entre phi et ses puissances. Seul nombre qui, lorsqu'on lui soustrait l'unité, devient son propre inverse.
x^4 – 2x^3 + x^2 – 1 = (x² – x – 1)(x² - x + 1) = 0	Le nombre d'or et son inverse sont solutions de cette équation.

Voir Équation trigonométrique en or / Nombre d'or et théorème de Ptolémée

Résolution d'un équation étonnante dont la racine est le nombre d'or

Limite
	Limite du rapport entre nombres consécutifs de Fibonacci ou de Lucas.

Fraction continue
Φ = [1 ; 1, 1, 1, 1, 1...]	Fraction continue la plus simple, car elle ne comporte que des "1".
1/ Φ = [0 ; 1, 1, 1, 1, 1...]	Déduction facile de la précédente: Phi et son inverse sont séparés d'une unité.
	Racine continue la plus simple (que des "1").

Voir Table des fractions continues de Phi / Racines continues de Phi / Fractions - Glossaire

Phi et fractions continues de Rogers-Ramanujan

FRACTIONS D'OR & FRACTIONS CONTINUES

Fractions d'approximation du nombre d'or appelées réduites du nombre d'or = quotient de deux Fibonacci consécutifs & présentation de la fraction continue correspondante.  1 1 2 2 3/2 1+1/`2` 5/3 1+1/(1+1/`2`) 8/5 1+1/(1+1/(1+1/`2`)) 13/8 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`))) 21/13 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`)))) 34/21 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`))))) 55/34 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`)))))) 89/55 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`))))))) 144/89 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`)))))))) 233/144 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`))))))))) 377/233 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`)))))))))) 610/377 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`))))))))))) 987/610 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`)))))))))))) 1597/987 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`))))))))))))) 2584/1597 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`)))))))))))))) 4181/2584 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`))))))))))))))) 6765/4181 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`))))))))))))))))

Voir Approximation de Phi

CHAÎNE DORÉE
Chaîne dorée Chaîne infinie non répétitive de 1 et 0. Sorte de fractale, car comporte une autosimilarité. Construction Départ: S0 = 0; S1 = 1 Itération: Sn = concaténation de Sn-1 et de Sn-2 Valeurs de la chaîne dorée 0 1 10 101 10110 10110101 1011010110110 101101011011010110101 ... Propriétés Le ratio entre la quantité de 1 et celle de 0 est le nombre d'or.

Trigonométrie
	Voir Page spéciale Voir Pentagone

Suite	Valeurs du nombre d'or Divine proportion
Aussi	Cercle Constante Pi Constantes Mathématiques Nombre d'or des exponentielles Série du type Fibonacci et cousins
DicoNombre	Nombre 1,618…
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