NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 01/09/2019 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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Débutants Géométrie	NOMBRE D'OR				Glossaire NOMBRE D'OR
Débutant		Valeurs	Phi et Fibonacci	Proportion
Tout PHI en bref		Formules	Puissances	Construction
Introduction		Fraction continue	Trigonométrie	Géométrie
Historique		Phi et nombre 5
	Sommaire de cette page >>> Nombre d'or ou divine proportion >>> Phi et son inverse >>> Approximations >>> Relations entre Pi et Phi >>> Formule avec 1, i, e, Pi et Phi >>> Équations >>> Fonctions >>> Nombre d'or irrationnel – Démonstration >>> Premiers selon ses décimales

NOMBRE d'OR – Valeurs

= 1,118… + 0,5

La somme de ses 146 premières décimales de Phi est égale à 666, ce qui en fait un nombre du diable.

Depuis septembre 2018, cette constante est connue avec 2 600 milliards de décimales (Tizian Haaselmann).

Valeurs de Phi et commentaires

Φ = (5 + 1) / 2 = 1, 618 … 1/ Φ = (5 – 1) / 2 = 0, 618 …	Nombre d'or et son inverse. Nombre irrationnel. Voir Démo Non transcendant.
Φ + 1/ Φ = 5 2 Φ – 1 = 5 = 2, 236 067 977 …	Valeur de racine de 5 donnée par le nombre d'or.
Φ = 5^.5 x .5 + .5 Φ = 5 ^ .5 * .5 + .5 Φ = 2, 236 067 977 … x 0,5 + 0,5 = 1, 118 033 988… + 0,5 = 1, 618 033 988…	Amusant, et plus facile à calculer. L'écriture anglaise n'utilise que le chiffre 5. Voir Jeux Calcul explicité de Phi.
	Autre formule en quatre 5.
	Plus élaboré, toujours avec 5 et une exponentielle de l'arc du sinus hyperbolique.
1,618 033 98 … avec 8 décimales	O nombre d'élégance ! Toi, toi, grandiose, étonnant (! pour 0). Voir Mnémotechnique
1,6180339887 49894848 …	Connu en 1998 avec 10 000 000 décimales - Simon Plouffe - 29 minutes de calcul.

Nombre d'or avec 1 024 décimales

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362 1076738937 6455606060 5921... Notez que 1/Phi vaut la même chose en remplaçant le 1 initial par 0.

Phi et son inverse
Phi et son inverse possèdent les mêmes décimales. Ce qui veut dire, par exemple, que diviser un nombre par Phi est équivalent à le multiplier par 0,618…, ce qui est plus facile à exécuter. Curiosité intéressante, mais pas si rare. C'est le cas pour toutes les racines de l'équation: x – 1/x = n avec n entier. Ou, autre formulation: x² - nx – 1 = 0 Pour n = 1, on retrouve le nombre d'or: 1,618 … Pour n = 2 => 2,414… = 1 + 2 Pour n = 3 => 3,3027… Pour n = 4 => 4,2360… = Φ^3 >>> Pour n = 5 => 5,1925…

Voir Suite binaire dorée

Approximations (écart entre parenthèses)
	= 1,617985… (0,00005) Approximation avec et e
	= 1,6211 (0,0031)
	= 1,666 … (0,05)
	= 1,600 … (0,02)
	= 1,618 055 … (0,000 02)
	= 1,618 025 751 … (0,000 008)
	= 0,625
	= 0,00014400…

Quelques relations avec Pi

Le fait que Pi soit proche de 2 Phi incite à chercher une relation plus approchée de ces valeurs.

Prenons le logarithme en supposant l'égalité:

Formule pour le calcul de b qui donne l'égalité

Voici quelques résultats de calcul avec n décimales exigées:

Les deux lignes en jaune donnent des valeurs presque entières avec Pi et avec Phi.

La dernière ligne montre les limites d'un tel exercice. Une égalité à n décimales est obtenue en multipliant chacun par le nombre formé des n chiffres de l'autre.

Formule avec 1, i, e, Pi et Phi
Une approximation originale qui allie ces cinq nombres.
Formule d'Euler:
Ce qui veut dire aussi:
En multipliant par p = 4 sur racine de Phi:
Or, on sait que Pi x Rac(Phi) est très proche de 4.
Proche de Pi.
Formule proposée avec PP = Pi dans le premier terme, et en divisant par 4:
Valeurs numériques:	- 0,785398… + 0,786151… = 0,00075…
On retient surtout:

Merci à Ûllah G.

Équations
Le nombre d'or et son inverse.
Équations

Valeurs des racines des équations:

(en gras, les racines)

			x²	– x	–1	= 0
Φ =	( 5 + 1) / 2 =	1,6180	2,618	-1,618	–1	0
1/ Φ =	( 5 - 1) / 2 =	0,6180	0,381	-0,618	–1	–1,24
- Φ =	– ( 5 + 1) / 2 =	–1,6180	2,618	1,618	–1	3,24
-1/ Φ =	-( 5 - 1) / 2 =	-0,6180	0,381	0,618	–1	0

			x²	+ x	– 1	= 0
Φ =	( 5 + 1) / 2 =	1,6180	2,618	1,618	–1	3,24
1/ Φ =	( 5 - 1) / 2 =	0,618	0,381	0,618	–1	0
- Φ =	– (5 + 1) / 2 =	–1,618	2,618	-1,618	–1	0
-1/ Φ =	– ( 5 - 1) / 2 =	–0,618	0,381	-0,618	–1	–1,24

FONCTIONS
Pour l'amusement, observons les quatre fonctions possibles Les courbes bleue (x² + x + 1) et jaune (x² - x + 1) ne donnent pas de racines. - 1,618 - 0,618 0,618 1, 618 Les courbes rouge (x² - x – 1) et verte (x² + x – 1) donnent le nombre d'or et son inverse au signe près.

Le nombre d'OR est irrationnel – Démonstration
Supposons que le nombre d'or x soit rationnel, c'est-à-dire égal à une fraction p/q. On suppose que les nombres entiers p et q sont choisis de manière que la fraction soit la plus simplifiée possible. Autrement dit, p et q n'ont pas de facteur commun. Ou encore: p de divise par q, pas plus que q ne divise p. (Pour les matheux: leur plus grand commun diviseur est égal à 1).	x PGCD (p,q)	= p/q = 1
Le nombre d'or est défini par l'équation.	x² – x – 1	= 0
En y introduisant la valeur rationnelle de x.	(p/q)² – (p/q) – 1	= 0
En multipliant par q².	p² – pq – q² p( p – q)	= 0 = q²
En divisant par p.	p – q	= q² / p
Le membre de gauche est un entier En conséquence celui de droite doit l'être aussi. Mais est-ce bien vrai?	p – q q² / p	= entier = entier ?
Eh bien non! p ne peut pas diviser q. Ce serait contraire à notre hypothèse de départ.	p et q	Aucun facteur commun
Cette contradiction montre qu'il n'est pas possible d'écrire le nombre d'or sous forme de fraction.	Le nombre d'or	est irrationnel

Premiers selon ses décimales
1 618 033 est premier avec sept chiffres. 1618 … avec 13, 255, 280 … chiffres sont aussi des nombres premiers	61 est premier avec deux chiffres 618 … avec 14, 887 … chiffres sont aussi des nombres premiers

Suite	Valeurs trigonométriques Formules Puissances Divine proportion Nombre d'or en racines
Aussi	Cercle Constante Pi Constantes Mathématiques Série du type Fibonacci et cousins
DicoNombre	Nombre 1,618… Nombre racine de 5 = 2,236… Nombre 1 618 033
Sites	Mathematical Constants - Billions of Digits de Alexander J. Yee
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/NbOrVal.htm

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