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Équations du énième degré xn – 2 = 0 Nous avons vu le cas avec n = 3
pour nous familiariser avec les racines représentées au sommet d'un triangle équilatéral
et offrant ainsi toutes les symétries de ce type de triangle. Nous allons
revenir sur ce cas en le formalisant et poursuivre avec le cas n = 5
(équations quintiques) dont on sait qu'elles n'ont pas de solutions exprimées
avec des radicaux. |
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Un corps
commutatif F et ses lois de composition notée + et x par convention: (F ,+, x). |
Un corps commutatif est un ensemble dans lequel il est possible
d'exécuter les quatre opérations, d'y pratiquer l'algèbre usuel. sont
des corps commutatifs. |
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Un sous-ensemble de F est aussi un corps avec les mêmes opérations. Associer la racine de 2 à l'ensemble des rationnels n'est pas un
sous-ensemble de R car les éléments n + n'en font pas partie. |
est un sous-ensemble
de qui est un sous-ensemble de
. n'est pas un sous-ensemble de . |
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Introduisons l'ensemble F(c),
un sous-ensemble de C tel que tous
les nombres complexes qui lui appartiennent sont le résultat de toutes les
opérations faites avec le nombre complexe c et tous ceux du sous-ensemble F de C. |
F(c) est une sorte d'ensemble
produit de F et de c. F(c) est le plus petit sous-ensemble de C qui contient à la fois F et
c. Si un sous-ensemble F' qui a les mêmes propriétés que F, contient à la
fois F et c, alors il contient F(c). Exemples: R(i) est l'ensemble des réels combinés avec
i de toutes les façons possibles; c'est l'ensemble complet des complexes:
R(i) = C. L'ensemble Q() de tous les rationnels combinés à racine
de 2, est un ensemble plus grand que Q, mais nettement moins grand que R. |
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Dans le premier cas, les racines dessinent un triangle rectangle; dans
le deuxième cas, elles forment le même triangle rectangle, les deux racines complexes
étant mises l'une à la place de l'autre. C'est une réflexion par rapport à
une horizontale passant par le sommet réel. |
<<< Voir introduction à ce cas. L'ensemble Q(), où j est une des racines cubiques
complexes de 1, est l'ensemble de toutes les racines de cette équation et
c'est le plus petit. On aurait pu prendre Q(²) qui lui est égal. C'est le même
sous-ensemble vu sous des angles différents. Effet de symétrie. Pourquoi pas les autres réflexions? Nous les aurons avec Q(²) et toutes les compositions de ces deux
réflexions: r1, r2, r1r2, r2
r1 r2, (r1r2)2, (r1r2)3
et identité, soit les six symétries. |
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La quantité de permutation des racines de xp – 2 = 0 est
égale à p (p – 1), alors que la quantité de symétries du polygone régulier à
p côtés est égale à 2p. Pour p = 3: 2p = p(p-1) = 6. Pour p > 3: 2p < p(p-1); 10 < 20. |
Avec le même mode de raisonnement, cette équation possède: une racine réelle, la racine cinquième de 2
= 1,148… et quatre complexes, chacune obtenue par
multiplication par les racines
cinquièmes complexes de 1, notée ici en w. Le pentagone compte dix cas de symétrie
(groupe diédral D5). Il s'avère que
ce n'est pas assez pour représenter les vingt
cas de permutations des racines de cette équation. Et c'est le cas général pour tout n = p (premier) sauf le cas
particulier de n = 3. Les équations de degré p, hors le cas p =
3, n'ont pas de solutions exprimables avec des radicaux. |
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Suite |
Équations
quintiques – Historique
Résolution des équations du
troisième degré par la méthode symétrique de Lagrange |
Voir |
Calcul – Index
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Site |
Symmetries of Equations: An Introduction to Galois Theory – Brent Everitt |
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