NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

 

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Aire Phi

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Sommaire de cette page

>>> Triangle et rectangle en or

>>> Évaluation des rapports

>>> Cas possibles

>>> Cas typiques

 

 

 

Triangles d'aire Phi dans rectangle

 

 

 

Triangle et rectangle en or

 

*      Un triangle inscrit dans un rectangle forme un triangle central et trois triangles externes dont l'aire est identique.

 

*      Alors les deux côtés découpés du rectangle sont en section dorée.

 

*      Cette figure repose sur les égalités suivantes:

 

 

 

 

*      De sorte que le produit des côtés pour les trois triangles est égal à Phi (et l'aire du triangle à Phi/2).

*      Le triangle central est isocèle et rectangle.

Rappel: 1/Phi   = 0,618

                Phi   = 1,618… et

                Phi² = 2,618…

 

 

 

Évaluation des rapports

 

*      Rectangle ABCD.

 

*      Les trois triangles

*  APQ,

*  PBC et

*  CDQ

doivent avoir la même aire.

 

*      Quelles sont les relations

*  entre a et b,

*  de même que, entre c et d ?

 

*      On rappelle que dans un triangle rectangle l'aire est égale au demi-produit des côtés adjacents à l'angle droit.

 

*      Égalité des aires.
En développant et en multipliant tout par 2.

(a + b) c/2 = ad /2 = b (c + d) /2

ac + bc  = ad = bc + bd

*      Avec le "bc" commun on déduit l'égalité ci-contre.
Notez la même proportion entre a b et c d.

ac  = bd

c    = bd / a

b/a = c/d

*      On remplace c par sa valeur dans une des égalités du dessus.

*      On simplifie par d et on divise par a (qui est une longueur non nulle).

ad = ac + bc

     = a (bd/a) + b (bd/a)

     = abd /a + b²d / a

a   = ab /a + b²/ a

1   = b / a + b² / a²

*      En posant: – b/a = x

On obtient l'équation d'or dont on connaît les deux solutions.
Seule qui donne c/d positif est retenue.

x² - x - 1 = 0

x1 = 1,618… et x2 = - 0,618…

b/a = 0,618…

c/d = 0,618…

*      Une telle figure impose que les côtés coupés du rectangle le soit en section dorée.

 

 

Cas possibles

 

*      Les deux rapports valent Phi, mais nous avons la liberté sur deux variables.

*      Explorons diverses possibilités:

(1)

a

b

c

d

a/b

d/c

A1

A2

A3

e

f

g

(2)

1

0,618

1

1,618

1,618

1,618

1,618

1,618

1,618

1,902

2,690

1,902

(3)

2

1,236

1

1,618

1,618

1,618

3,236

3,236

3,236

3,387

2,895

2,573

(4)

3

1,854

1

1,618

1,618

1,618

4,854

4,854

4,854

4,956

3,208

3,409

(5)

1

0,618

2

3,236

1,618

1,618

3,236

3,236

3,236

2,573

5,272

3,387

(6)

1

0,618

0,618

1

1,618

1,618

1,000

1,000

1,000

1,732

1,732

1,414

(7)

1,618

1

1

1,618

1,618

1,618

2,618

2,618

2,618

2,803

2,803

2,288

 

*      En ligne (1), on donne abcd selon les notations de la figure du haut; les deux rapports que nous cherchons à égaler au nombre d'or; les aires des trois triangles; on ajoute la mesure des côtés du triangle interne (efg).

*      En ligne (2), on retrouve la figure de tête avec a  = 1, b = 1/Phi = 0,618…, c= 1 et d= Phi = 1,618.

*      En lignes (3) à (5), on montre que l'on peut multiplier a et b par un nombre et c et d par le même ou un autre; dans tous les cas la propriété de la figure est conservée: les trois triangles ont même aire. Il y a donc une infinité de cas possibles.

*      Seule la figure de la ligne(1) donne un triangle interne isocèle.

*      Les lignes (6) et (7) présentent deux figures où le triangle interne est isocèle avec la particularité de deux mesures contigües identiques (1 et 1 ou Phi et Phi.

 

 

Cas typiques

(cas des lignes (6) et (7) du tableau ci-dessus)

*      Les deux figures sont homothétiques: on passe de gauche à droite en multipliant toutes les mesures par Phi. L'aire est bien entendu multipliée par Phi².

*      Avec Pythagore et les relations sur les puissances de Phi, on calcule facilement la longueur des côtés du triangle interne. Exemple pour triangle en haut à gauche:

(1 + 1/ Φ)² + (1/ Φ)² = Φ ² + (2 – Φ) = (Φ + 1) + (2 – Φ) = 3

*      L'angle au sommet du triangle isocèle mesure 48,189° ().

 

 

Suite

*    Cercle, croissant et ellipse

*    Valeurs du nombre d'or

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*    Trigonométrie

Aussi

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*    Constante Pi

*    Constantes Mathématiques

*    Construction géométrique des nombres

*    Série du type Fibonacci et cousins

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