Arrangements - théorie

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Atlas / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE - *M'écrire* - Édition du: 18/07/2009
Débutants COMPTER FAQ	COMBINATOIRE COMPTER	Glossaire COMPTER
	ARRANGEMENTS Théorie
Sommaire de cette page >>> ARRANGEMENTS >>> PERMUTATIONS >>> PROPRIÉTÉS >>> ÉQUATIONS

ARRANGEMENENTS

Théorie

Quelques exemples

ARRANGEMENTS

Le nombre d'arrangements de n objets pris p par p est donné par la formule

A^p_n = n! / (n-p)! = n (n-1) (n-2) … (n-p+1)

Démonstration

Notre collection comporte n objets

Nous pouvons prendre un de ces n objets pour le placer en première position

- Il y a n possibilités pour la première position

Ici p = 5 (5 cases)

On indique les n possibilités

dans la case n°1

Nous venons de placer 1 des objets

Il y en a un de moins dans notre collection

Il en reste n-1

Nous pouvons prendre un de ces n - 1 objets pour le placer en deuxième position

- Il y a n - 1 possibilités pour la deuxième position

n-1

…

Nous venons de placer p-1 objets

Il en reste n - (p-1)

Nous pouvons prendre un de ces n - (p-1) objets pour le placer en dernière position

Il y a n - p + 1 possibilités pour la dernière position

n-1

n-2

n-3

n-4

4 = p - 1

Pour chaque position, je suis tout à fait libre d'effectuer le choix que je veux

Les choix sont indépendants les uns des autres

Nous pouvons appliquer le principe multiplicatif

A^p_n = n (n-1) (n-2) … (n-p+1)

Calcul de l'autre forme

Multiplions par la même valeur au numérateur et dénominateur	A^p_n =	n (n-1) (n-2) … (n-p+1) (n-p)!
		(n-p)!
En développant la factorielle du numérateur	A^p_n =	n (n-1) (n-2) … (n-p+1) (n-p) (n-p-1) … 2 x 1
		(n-p)!
Soit, en simplifiant	A^p_n =	n!
		(n-p)!

PERMUTATIONS

Le nombre de permutations de n objets est donné par la formule P_n = Aⁿ_n = n!
Démonstration
On sait que dans le cas général	A^p_n = n! / (n-p)!
Dans le cas particulier où on pend tous les objets	p = n
En remplaçant	P_n = Aⁿ_n = n! / (n-n)! = n! / 0!
Quelle est la valeur de factorielle 0 ?	0! = 1
En remplaçant	P_n = Aⁿ_n = n!

PROPRIÉTÉS

n-1 n

Aⁿ_n

= A^n-1_n = n! = P_n

A^n-1_n = n! / (n-(n-1))!

= n! / 1 = n! = P_n

n-1

p-1 p

x n

A^p_n

= n. A^p-1_n-1

A²₄ = 12 = 4. A¹₃

= 4 x 3! / 2! = 12

x r	x 1

A^p_n

= A^p_n-1 + p. A^p-1_n-1

A²₄ = 12 = A²₃ + 2 . A¹₃

= 6 + 2 x 3 = 12

ÉQUATIONS

Résoudre une équation comportant des nombres d'arrangements

Quelle est la valeur de n ? Si =>	A⁴_n	= 20 A²_n
Développons	A⁴_n	= n! / (n - 4)!
	A²_n	= n! / (n - 2)!
En reportant dans l'équation du départ	n! / (n - 4)!	= 20 n! / (n - 2)!
On simplifie par n!	1 / (n - 4)!	= 20 / (n - 2)!
En plaçant les factorielles ensemble	(n - 2)! / (n - 4)!		= 20
En développant un peu (n-2)!	(n - 2) (n - 3) (n - 4)! / (n - 4)!		= 20
On simplifie par (n-4)!	(n-2)(n-3)		= 20
En développant	n² - 5n + 6		= 20
	n² - 5n - 14		= 0
En factorisant	(n - 7) ( n + 2)		= 0
Solutions	n		= 7 = -2
En éliminant la valeur négative	n		= 7
Vérification	A⁴₇	= 20 A²₇
	7 x 6 x 5 x 4	= 20 x 7 x 6

Autre exemple

Valeurs de n et m ? Si =>	A²_m+n A²_m-n	= 90 = 30
Première équation	A²_m+n	= (m + n) (m + n - 1) = 90 = (m + n)² - (m + n)
Ou, en mettant tout du même côté et en posant a = m + n pour la clarté et mise en évidence de la factorisation On retient que a doit être positif	0	= (m + n)² - (m + n) - 90 = a² - a - 90 = (a - 10) (a + 9)
Deux valeurs possibles	a	= 10 = m + n Possible = -9 = m + n Impossible
Deuxième équation	A²_m-n	= (m - n) (m - n - 1) = 30 = (m - n)² - (m - n)
Même procédure	0	= (m - n)² - (m - n) - 30 = b² - b - 30 = (b - 6) (b + 5)
Deux valeurs possibles	b	= 6 = m - n Possible = -5 = m - n Impossible
Récapitulation	m + n m - n	= 10 = 6
Résolution immédiate	m n	= 8 = 2