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		Sommaire de cette page >>> Puissance et exposants >>> Opérations sur les exposants >>> Exemples pratiques avec puissances de 10 >>> Opérations sur les bases >>> Opérations avec deux étages

Calculs pratiques avec les puissances

Rappel sur les puissances; opérations avec les exposants; et, calculs avec des bases différentes.

Toute cette page utilise des nombres et des calculs numériques. Pour les propriétés générales vues sous la forme littérale, voir algèbre des puissances.

La manipulation des puissances nécessite de se souvenir de ce qu'elles signifient et alors tout va bien.

Voir Brève 52-1031

Puissance ?
Multiplication	La multiplication est une façon abrégée et commode de faire plusieurs fois la même addition.	= 6
Puissance	La puissance est une façon abrégée et commode de faire plusieurs fois la même multiplication. Cette opération se lit : deux (à la) puissance trois égale huit. Le résultat de l'opération (8) est la puissance. La quantité de multiplications à effectuer est l'exposant (3), petit nombre écrit en petit en haut à droite du nombre. Le nombre (2) porté à une puissance est la base (mot peu utilisé; à ne pas confondre avec base de numération.)	= 8

Voir DicoMot – Puissance

Opérations sur les EXPOSANTS
Addition des nombres	On se souvient de la signification de la puissance pour réaliser une addition ou une soustraction. Il n'y a pas de raccourcis de calcul. Cas d'exposants identiques 2^3 + 2^3 = 2x2x2 + 2x2x2 = 2 x 2^3 = 2^4	8 + 16 = 24
Multiplication des nombres	Un beau raccourci de calcul: Le produit de deux puissances de même base est la somme des exposants. Cas d'exposants identiques 2^3 x 2^3 = 2x2x2 x 2x2x2 = 2^6	= 8 x 16 = 128
Division des nombres	Un autre beau raccourci: La division des nombres est transformée en une soustraction des exposants. Cas d'exposants identiques 2^3 / 2^3 = 2^0 = 2x2x2 / 2x2x2 = 1	= 32 / 8 = 4

On retiendra:

2^0 = 1 2^1 = 2	N^0 = 1 N^1 = N
2^k + 2^k = 2 x 2^k = 2^k+1 2^k x 2^k = 2^2k =(2^k)²	N^k + N^k = 2 x N^k N^k x N^k = N^2k = (N^k)²

Addition des exposants	2^3 + 2 = 2^5 = 2x2x2 x 2x2 = 2^3 x 2^2	= 32 = 8 x 4
Multiplication des exposants	2^2 x 3 = 2^6 = 2x2x2 x 2x2x2 = 2^3 x 2^3 = (2^3)^2 = 2x2 x 2x2 x 2x2 = 2^2 x 2^2 x 2^2 = (2^2)^3 La multiplication des exposants correspond au développement d'une puissance à étages avec parenthèses. Voir réduction d'un étage	= 64 = 8 x 8
Combinaisons	2^2 x 3 + 2 = 2^8 = 2x2x2 x 2x2x2 x 2x2 = 2^3 x 2^3 x 2^2	= 256 = 8 x 8 x 4

Exemples pratiques pas à pas

Addition

Calculez la somme

N = a + b + c

avec

a = 10,45 x 10^-12
b = 0,063 x 10^-10

c = 72,5 x 10^-14

J'utilise la même puissance de 10 pour chacun.

a =	10, 45	x 10^-12
b =	6, 3	x 10^-12
c =	0, 725	x 10^-12
N = =	17,475 1,7475	x 10^-12 x 10^-11

Voir exemple de détail de calcul ci-dessous

Changement d'exposant

Sans se tromper et, surtout, en comprenant bien ce que l'on fait. Aucune magie!

Exemple avec b.

Je multiplie par une fraction unitaire: 1 = 10¹² / 10¹².

Je calcule 10^-10 x 10¹² = 10²

En effet, nous avons vu que dans un produit les exposants s'ajoutent.

Je calcule 0,063 x 100 = 6,3

En effet, le 6 de ce nombre représente bien six centièmes et le 3, trois millièmes.

Je multiplie par la fraction unitaire: 1 = 10^-12 / 10^-12 pour obtenir le résultat final. (Cette multiplication se fera désormais mentalement).

Multiplication

& Division

Calculez le produit

N = (a x b) / (c x d)

avec

a = 75 x 10^-6
b = 21 x 10 ⁵

c = 2,5 x 10^-4

d = 0,02 x 10 ²

Propriété: Le produit est commutatif (Ex: 2x 3 = 3 x 2): je peux placer les facteurs où bon me semble.

Note: je sais manipuler les exposants positifs et négatifs en numérateur comme en dénominateur, en utilisant par la pensée des fractions unitaires)

1) Je m'intéresse d'abord aux nombres:

M = 75 x 21 x 2, 5 x 0,02

= 11, 2875

2) Puis aux puissances de 10:

P = 10^-6 x 10⁵ x 10⁴ x 10^-2

= 10 ^{-6 + 5 + 4 – 2} = 10 ¹ = 10

3) Bilan

N = M x P = 11, 2875 x 10

N = 112,875

Opérations sur les BASES
Changement de base avec des multiples	4^3 = 4x4x4 = 2x2 x 2x2 x 2x2 = 2^6 4^5 = 4x4x4x4x4 = 2x2 x 2x2 x 2x2 x2x2 x 2x2 = 2^10 8^2 = 8x8 = 2x2x2 x 2x2x2 = 2^6 16^3 = 16x16x16 = 2x2x2x2 x 2x2x2x2 x 2x2x2x2 = 2^12 Attention! Lorsque la base est divisée: par 2 = 2^1, l'exposant est multiplié par 2; par 4 = 2^2, l'exposant est multiplié par 3; par 8 = 2^3, l'exposant est multiplié par 4; par 2^n, l'exposant est multiplié par (n+1).
Bases non multiples	6^3 = 6x6x6 = 3x3x3 x 2x2x2 = 3^3 x 2^3 12^4 = 12x12x12 = 3x3x3 x 4x4x4 = 3^3 x 4^3 = 3x3x3 x 2x2x2 x 2x2x2 = 3^3 x 2^6 12^n = (3 x 4)^n= 3^n x 4^n = 3^n x (2x2)^n = 3^n x 2^n x 2^n = 3^n x 2^2n Pour élever un produit à une puissance, on élève chaque facteur à cette puissance.
Opérations	4^3 + 8^2 = 4^3 + (2x4)^2 = 4^3 + 2^2 x 4^2 = 4^3 + 4^1 x 4^2 = 4^3 + 4^3 = 2 x 4^3 = 2 x 64 = 128 4^3 + 8^2 = (2x2)^3 + (2x2x2)^2 = 2^3x2^3 + 2^2x2^2x2^2 = 2^6 + 2^6 = 2^7 = 2 x 2^6 = 2^1 x 2^6 = 2^7 = 128 2^6 + 4^4 + 8^3 = 2^6 + (2x2)^4 + (2x2x2)^3 = 2^6 + 2^4x2^4 + 2^3x2^3x2^3 = 2^6 + 2^8 + 2^9 = 2^6 (1 + 2^2 + 2^3) = 64 x13 Pour calculer (simplifier) une expression, mettre tout ce qui est possible dans la même base.

Opérations avec deux étages
Simple	Ce sont les exposants les plus hauts qui sont calculés les premiers. Notez que la position des exposants ne peut pas être échangée (commutable). Voyez comme les exposants du haut sont actifs.
Bases en 2 et 4	En jaune les formes équivalentes Pas de règle simple (sauf ci-dessous), mieux vaut développer en empruntant l'un des chemins indiqués. Attention à la place des parenthèses et surtout ne pas les éliminer: (2^8)^2 = (256)^2 = 65 536 mais 2^8^2 = 2^(64) = 18 446 744 073 709 551 616 Effet de la priorité des exposants située le plus en haut.
Cas de l'exposant 2	Dans le cas de carrés portés à une puissance, l'exposant de cette puissance croit d'une unité si la base est portée au carré. C'est un cas particulier de: Relation à noter Voir Nombres de Fermat
Bases en 3, 6 et 9	Voir Puissances à étages

Suite	Notation des très grands nombres Grands nombres avec 3 et 9 Multi-puissances Puissance de 6
Voir	Constantes Évolution des puissances de 2 Grands nombres avec 2 Graphes, arbres et exposants Progression géométrique Puissances – Index Puissances de 10 Puissances et exposants
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