NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 25/04/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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	Digipuissants		Faute de frappe	Puissances consécutives
		Sommaire de cette page >>> Les cousins >>> Nombres narcissiques >>> Cas de 153, 165033, … >>> Liste de 88 nombres narcissiques >>> Cycle narcissique d'ordre 3 >>> Quelques cycles >>> Records

NOMBRES NARCISSIQUES

ou

NOMBRES D'ARMSTRONG

NOMBRES DIGIPUISSANTS

NOMBRES EXPOSANTS

EXPOSITORY NUMBERS

Nombre n formé des chiffres a, b, c tel que, par exemple:

n = a³ + b³ + c³

Anglais: Narcissistic number, Armstrong number, perfect digital invariant or plus perfect number.

Puissances et chiffres – Les cousins
Résumé (les carrés représentent les chiffres du nombre)
Friedman	Nombre dont les chiffres calculés redonnent le nombre. >>> * Friedman multiplicatif.	25 = 5^2 126 = 21 x 6* 343 = (3 + 4)^3
Friedman sauvage	Nombres de Friedman faisant appel à des opérateurs non classiques >>>
Narcissiques	Nombre égal à la somme de ses chiffres à une puissance. >>>	153 = 1^3 + 5^3 + 3^3
Digipuissants (Dudeney)	Nombre égal à la puissance énième de la somme de ses chiffres >>>	512 = (5 + 1 + 2)^3
K-Narcissiques	Nombre égal k fois la somme de ses chiffres à une puissance. >>>	702 = 2 (7^3 + 0^3 + 2^3) = 2 (343 + 8) = 2 x 351
P-Narcissique Narcissiques puissants	Nombre égal à la somme des chiffres porté à des puissances successives. >>>	518 = 5^1 + 1^2 + 8^3 Variantes 3 435 = 3^3 + 4^4 + 3^3 + 5^5 …
Expository (Narcissiques de Keith)	Nombre égal à une combinaison des sommes des chiffres du nombre, du carré, du cube, etc. et, dans chaque cas, mis à une puissance particulière. >>>	336 = 3 + 3 + 6 + 3^2 + 3^2 + 6^2 + 3^3 + 3^3 + 6^3
Narcissiques Produits	Nombre faute de frappe Nombre égal au produit-puissances successifs de ses chiffres. >>>	2592 = 2^5 x 9^2
Narcissiques Fractions	Nombres égaux à une fraction avec chiffres à une puissance au numérateur comme au dénominateur >>>
Narcissiques inverses	Nombre égal à la somme d'un nombre à puissance successive de ses chiffres. >>>	1 033 = 8^1 + 8^0 + 8^3 + 8^3 4 624 = 4^4 + 4^6 + 4^2 + 4^4
SOCHIPUIS	Nombre égal à la somme de ses chiffres portés à une puissance >>>	89 = 8^1 + 9^2 1 034 = 1^1 + 0^1 + 3^2 + 4^5
NESCHIP	Nombre Égal à la Somme des CHIffres portée à une Puissance (sigle). >>>	512 = 8^3 & 5 + 1 + 2 = 8
Kaprekar	Nombre égal à la somme des parties droite et gauche portée à une puissance. >>>	2025 = 45^2 & 20 + 25 = 45

Voir Somme-Produit des chiffres – Toutes les autres possibilités

NOMBRES NARCISSIQUES
Définition Nombre égal à la somme de ses n chiffres chacun élevé à la puissance n. Les vrais narcissiques sont ceux k chiffres avec la puissance k. Exemples
1 =	1^1	10 cas: Tous les chiffres
n =	a^2 + b^2	0 cas
153 =	1^3+ 5^3+ 3^3
370 =	3^3+ 7^3+ 0^3	4 cas
371 =	3^3+ 7^3+ 1^3
407 =	4^3+ 0^3+ 7^3
1 634 = 8 208 = 9 474 =	1^4+ 6^4+ 3^4+ 4^4 8^4+ 2^4+ 0^4+ 8^4 9^4+ 4^4+ 7^4+ 4^4	3 cas
4150 = 4151 = 54 748 = 92 727 = 93 084 = 194 979 =	4^5+ 1^5+ 5^5+ 0^5 4^5+ 1^5+ 5^5+ 1^5 5^5+ 6^5+ 3^5+ 4^5+ 8^5 9^5+ 2^5+ 7^5+ 2^5+ 7^5 9^5+ 3^5+ 0^5+ 8^5+ 4^5 1^5+ 9^5+ 4^5+ 9^5+ 7^5 + 9^5	2 cas (4 chiffres à la puissance 4) – dits Armstrong de quatrième espèce. + 4 cas vrais (5 chiffres à la puissance 5) – dits Armstrong de première espèce.
548 834 =	5^6+ 4^6+ 8^6+ 8^6+ 3^6+ 4^6	1 cas
1 741 725 = 4 210 818 = 9 800 817 = 9 926 315 = 14 459 929 =	1^7+ 7^7+ 4^7+ 1^7+ 7^7+ 2^7+ 5^7 = 1 + 823 543 + 16 384 + 1 + 823 543 + 128 + 78 125 Etc.	5 cas
24 678 050 = 24 678 051 = 88 593 477 =	= 2^8 + 4^8 + 6^8 + 7^8 + 8^8 + 0^8 + 5^8 + 0^8 Etc.
146 511 208 =	…

Liste complète Il y a exactement 88 nombres narcissiques (vrais). Le plus grand a 39 chiffres. Prouvé en 1985 par D. Winter et vérifié par D. Hoey. Liste complète en 1994 par Mendes Oliveira e Silva.
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 153 11 370 12 371 13 407 14 1634 15 8208 16 9474 17 54748 18 92727 19 93084 20 548834 21 1741725 22 4210818 23 9800817 24 9926315 25 24678050 26 24678051 27 88593477 28 146511208 29 472335975 30 534494836 31 912985153 32 4679307774 33 32164049650 34 32164049651 35 40028394225 36 42678290603 37 44708635679 38 49388550606 39 82693916578 40 94204591914 41 28116440335967 42 4338281769391370 43 4338281769391371 44 21897142587612075	45 35641594208964132 46 35875699062250035 47 1517841543307505039 48 3289582984443187032 49 4498128791164624869 50 4929273885928088826 51 63105425988599693916 52 128468643043731391252 53 449177399146038697307 54 21887696841122916288858 55 27879694893054074471405 56 27907865009977052567814 57 28361281321319229463398 58 35452590104031691935943 59 174088005938065293023722 60 188451485447897896036875 61 239313664430041569350093 62 1550475334214501539088894 63 1553242162893771850669378 64 3706907995955475988644380 65 3706907995955475988644381 66 4422095118095899619457938 67 121204998563613372405438066 68 121270696006801314328439376 69 128851796696487777842012787 70 174650464499531377631639254 71 177265453171792792366489765 72 14607640612971980372614873089 73 19008174136254279995012734740 74 19008174136254279995012734741 75 23866716435523975980390369295 76 1145037275765491025924292050346 77 1927890457142960697580636236639 78 2309092682616190307509695338915 79 17333509997782249308725103962772 80 186709961001538790100634132976990 81 186709961001538790100634132976991 82 1122763285329372541592822900204593 83 12639369517103790328947807201478392 84 12679937780272278566303885594196922 85 1219167219625434121569735803609966019 86 12815792078366059955099770545296129367 87 115132219018763992565095597973971522400 88 115132219018763992565095597973971522401
Programme Maple		Commentaires Réinitialisation du logiciel. Lancement de la boucle d'analyse des nombres n. Conversion de n en N, la liste des chiffres de n avec q la quantité de chiffres. Calcul de la somme des chiffres de n à la puissance égale à la quantité de chiffres (q). Si cette somme (S) est égale à n, alors on imprime la liste. Fin de boucle (od, qui est le do à l'envers). En bleu, le résultat du traitement pour la plage spécifiée pour n

Voir Somme des puissances des chiffres  / Narcissiques en couple / Boucles en cubes

Voir Programmation – Index

Cas de 153, 165033, …
Cette suite d'égalité est infinie. Voir Brève 689 / Nombre 153 Voyons pourquoi en examinant chaque nombre.

CYCLE NARCISSIQUE d'ordre 3

Cycle

Le cycle consiste à calculer la somme des cubes des chiffres d'un nombre puis la somme des cubes des chiffres de cette somme; etc.

Exemple pour 2

2	Somme des cubes des chiffres
8	8
512	125 + 1 + 8 = 134
134	1 + 27 + 64 = 92
92	729 + 8 = 737
737	343 + 27 + 343 = 713
713	343 + 1 + 27 = 371
371	Mêmes chiffres, soit même total

Ici, le cycle narcissique du 2 se termine par le nombre narcissique 371.

Exemple avec 3

Voir Brève de maths 210 / Procédé itératif de Kaprekar

Anglais: The digit cube sum problem

Quelques cycles avec la somme des chiffres au cube
Propriété Tous les nombres divisibles par 3 ont un cycle qui se termine par 153. La table à droite montre quelques exemples: le nombre de départ, les sommes successives et la longueur du cycle. Voir aussi Tableau Excel Records: nombre de départ, quantité de cycle, [cycle] 3, 3, [27, 351, 153] 6, 10, [216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] 117, 11, [345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] 177, 13, [687, 1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] 12 558, 14, [771, 687, 1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] Aucun cycle plus long jusqu'à cent millions. Résultat de mon test en environ une heure de calculs. Shyam Sunder Gupta indique que l'on atteint 15 avec le nombre 44499999999999999999 = 43917.

Exemple avec les premiers nombres

En tête de colonne, le nombre de départ (de 1 à 20).

En jaune, arrêt sur un nombre narcissique.

En rose, boucle

En rouge, nombre déjà rencontré dans les colonnes précédentes.

Notes:

Le nombre 13 fait apparaître un cycle avec 133. Les ésotéristes y voient une signification. Le nombre 153 est aussi important pour eux.

Cycle narcissique aboutissant à 1

Tous les nombres jusqu'à 10 000 dont le cycle se termine par 1 et la quantité nécessaire de boucle

La somme 1 du premier coup est triviale pour les puissances de 10.

En deux cycles, on trouve tous les nombres dont la somme des chiffres est une puissance de10. Ex: 1234 => 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 1 + 8 + 27 + 64 = 100.

Le plus petit nombre exigeant 5 itérations est 13 477 et les suivant (hors permutations) est 17 779.

Quelques cycles particuliers

La somme des cubes des quatre premiers chiffres est égale à 100.

Tous les repdigit, comme tous les multiples de 3, ont un cycle narcissique qui aboutit à 153.

Cycles doubles ou triples

Le nombre 919 donne un cycle narcissique à 2 nombres

Le nombre 55 donne un cycle narcissique à 3 nombres

Etc.

Puissance	Départ	Suite	Quantité
2	4	4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20.	8
3	55	133, 55	2
	136	244, 136	2
	160	217, 352, 160	3
	919	1459, 919	2
4	1138	4179, 9219, 13139, 6725, 4338, 4514, 1138	7
	2178	6514, 2178	2

Records de cycles 3-narcissiques dont les nombres sont tous différents

Longueur du cycle, CYCLE, altitude maximale

8, [2, 8, 512, 134, 92, 737, 713, 371] – 512

11, [6, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] – 1 458

12, [68, 728, 863, 755, 593, 881, 1025, 134, 92, 737, 713, 371] – 1 025

14, [177, 687, 1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] – 1 458

15, [12558, 771, 687, 1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] – 12 558

Fin, à ma connaissance !

Énigme

Quatorze voitures d’une grande administration sont rangées l’une derrière l’autre sur le parking officiel de la Préfecture. Je remarque qu’elles portent toutes un numéro d’immatriculation différent, inférieur à 1500, mais aussi, chose étonnante, que le numéro de chacune est égal à la somme des cubes des chiffres du numéro de la voiture placée devant elle. Quel est le numéro de la cinquième voiture ?

Réponse par lecture de la liste ci-dessus: 177, 687, …

Énigme communiqué par Roger Rigaud

Voir Brève 844

Suite	Somme des carrés des chiffres Somme des chiffres des puissances Nombres de Dudeney Monstre de Taneja Somme-Produit des chiffres – Index
Voir	Automorphiques Facteurs sans zéro Nombres et puissances de leurs chiffres Palindromes Pannumériques Partition en puissance
Site	Nombres narcissiques – Tangente – Gianni Sarcone Nombre narcissique – Wikipédia Narcissistic number – Wolfram MathWorld Narcissic numbers – Harvey Heinz A brief introduction to Armstrong numbers – M.F. Armstrong – Définition des quatre espèces OEIS A005188 – Armstrong (or Plus Perfect, or narcissistic) numbers: m-digit numbers equal to sum of m-th powers of their digits (a finite sequence, the last term being OEIS A098870 – Sum of the cubes of the digits of the previous term, starting with 2 The Digits Cube Sum Problem
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