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NOMBRES NARCISSIQUES ou NOMBRES D'ARMSTRONG NOMBRES DIGIPUISSANTS NOMBRES EXPOSANTS EXPOSITORY NUMBERS Nombre n formé des chiffres
a, b, c tel que, par exemple: n = a3 + b3
+ c3 |
Anglais: Narcissistic
number, Armstrong number, perfect digital invariant or plus perfect number.
Résumé (les
carrés représentent les chiffres du nombre) |
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Friedman |
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25 = 52 126 = 21 x 6* 343 = (3 + 4)3 |
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Friedman sauvage |
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Narcissiques |
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153 = 13
+ 53 + 33 |
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Digipuissants (Dudeney) |
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512
= (5 + 1 + 2)3 |
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K-Narcissiques |
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702 = 2 (73 + 03 + 23) = 2 (343
+ 8) = 2 x 351 |
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P-Narcissique Narcissiques
puissants |
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518 = 51 + 12 + 83 Variantes 3 435 = 33 + 44 + 33 +
55 … |
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Expository (Narcissiques
de Keith) |
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336 = 3 + 3 + 6 + 32
+ 32 + 62 + 33
+ 33 + 63 |
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Narcissiques Produits |
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2592 = 25 x 92 |
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Narcissiques Fractions |
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Narcissiques inverses |
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1 033 = 81 + 80 + 83 +
83 4 624 = 44 + 46 + 42 +
44 |
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SOCHIPUIS |
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89 = 81 + 92 1 034 = 11 + 01 + 32 +
45 |
|
NESCHIP |
|
512 =
83 & 5 + 1 + 2 = 8 |
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Kaprekar |
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2025 = 452 & 20 + 25 = 45 |
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Voir Somme-Produit
des chiffres – Toutes les autres possibilités
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Nombre égal à la somme de ses n chiffres
chacun élevé à la puissance n. Les vrais
narcissiques sont ceux k chiffres avec la puissance k. |
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1 = |
11 |
10 cas:
Tous les chiffres |
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n = |
a2
+ b2 |
0 cas |
|
153 = |
13 + 53 +
33 |
||
370 = |
33 + 73 +
03 |
4
cas |
|
371 = |
33 + 73 +
13 |
|
|
407 = |
43 + 03 +
73 |
|
|
1 634 = 8 208 = 9 474 = |
14 + 64 + 34
+ 44 84 + 24 + 04
+ 84 94 + 44 + 74
+ 44 |
3 cas |
|
4150 = 4151 = 54 748 = 92 727 = 93 084 = 194 979 = |
45 + 15 + 55
+ 05 45 + 15 + 55
+ 15 55 + 65 + 35
+ 45 + 85 95 + 25 + 75
+ 25 + 75 95 + 35 + 05
+ 85 + 45 15 + 95 + 45
+ 95 + 75 + 95 |
2 cas (4 chiffres à la puissance 4) – dits
Armstrong de quatrième espèce. +
4
cas vrais (5 chiffres à la puissance 5) – dits Armstrong de première espèce. |
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548 834 = |
56 + 46 + 86
+ 86 + 36 + 46 |
1 cas |
|
1 741 725 = 4 210 818 = 9 800 817 = 9 926 315 = 14 459 929 = |
17 + 77 + 47
+ 17 + 77 + 27 + 57 = 1 + 823
543 + 16 384 + 1 + 823
543 + 128 + 78 125 Etc. |
5 cas |
|
24 678 050 = 24 678 051 = 88 593 477 = |
= 28
+ 48 + 68 + 78 + 88 + 08
+ 58 + 08 Etc. |
||
146 511 208 = |
… |
||
Il y a exactement 88
nombres narcissiques (vrais).
Le plus grand a 39 chiffres. Prouvé en 1985 par D. Winter et
vérifié par D. Hoey. Liste complète en 1994 par Mendes Oliveira e Silva. |
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1
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 8
8 9
9 10
153 11
370 12
371 13
407 14
1634 15
8208 16
9474 17
54748 18
92727 19
93084 20
548834 21
1741725 22
4210818 23
9800817 24
9926315 25
24678050 26
24678051 27
88593477 28
146511208 29
472335975 30
534494836 31
912985153 32
4679307774 33
32164049650 34
32164049651 35
40028394225 36
42678290603 37
44708635679 38
49388550606 39
82693916578 40
94204591914 41
28116440335967 42
4338281769391370 43
4338281769391371 44
21897142587612075 |
45
35641594208964132 46
35875699062250035 47
1517841543307505039 48
3289582984443187032 49
4498128791164624869 50
4929273885928088826 51
63105425988599693916 52
128468643043731391252 53
449177399146038697307 54
21887696841122916288858 55
27879694893054074471405 56
27907865009977052567814 57
28361281321319229463398 58
35452590104031691935943 59
174088005938065293023722 60
188451485447897896036875 61
239313664430041569350093 62
1550475334214501539088894 63
1553242162893771850669378 64
3706907995955475988644380 65
3706907995955475988644381 66
4422095118095899619457938 67
121204998563613372405438066 68
121270696006801314328439376 69
128851796696487777842012787 70
174650464499531377631639254 71
177265453171792792366489765 72
14607640612971980372614873089 73
19008174136254279995012734740 74
19008174136254279995012734741 75
23866716435523975980390369295 76
1145037275765491025924292050346 77
1927890457142960697580636236639 78
2309092682616190307509695338915 79
17333509997782249308725103962772 80
186709961001538790100634132976990 81
186709961001538790100634132976991 82
1122763285329372541592822900204593 83
12639369517103790328947807201478392 84
12679937780272278566303885594196922 85
1219167219625434121569735803609966019 86
12815792078366059955099770545296129367 87
115132219018763992565095597973971522400 88
115132219018763992565095597973971522401 |
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Programme Maple |
Commentaires Réinitialisation
du logiciel. Lancement
de la boucle d'analyse des nombres n. Conversion
de n en N, la liste des chiffres de
n avec q la quantité de chiffres. Calcul
de la somme des chiffres de n à la puissance égale à la quantité de chiffres
(q). Si
cette somme (S) est égale à n, alors on imprime la liste. Fin
de boucle (od, qui est le do à l'envers). En
bleu, le résultat du traitement pour la plage spécifiée pour n |
|
Voir
Somme des puissances des chiffres / Narcissiques en couple / Boucles
en cubes
Voir
Programmation – Index
|
||
Cette
suite d'égalité est infinie. Voyons pourquoi en examinant chaque nombre. |
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|
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Cycle Le cycle consiste à calculer la somme des
cubes des chiffres d'un nombre puis la somme des cubes des chiffres de cette
somme; etc. Exemple pour 2
Ici, le cycle narcissique du 2 se termine
par le nombre narcissique 371. Exemple avec 3 |
Voir Brève de
maths 210 / Procédé
itératif de Kaprekar
Anglais: The digit cube sum problem
|
||
Propriété Tous les nombres
divisibles par 3 ont un cycle qui se termine par 153. La table à
droite montre quelques exemples: le nombre de départ, les sommes successives
et la longueur du cycle. Voir
aussi Tableau Excel Records: nombre de départ,
quantité de cycle, [cycle] 3, 3, [27, 351, 153] 6, 10, [216, 225,
141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] 117, 11, [345, 216,
225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] 177, 13, [687,
1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] 12 558, 14, [771,
687, 1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] Aucun cycle plus long jusqu'à cent
millions. Résultat de mon test en
environ une heure de calculs. Shyam Sunder Gupta indique que l'on
atteint 15 avec le nombre 44499999999999999999 = 43917. |
|
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Exemple
avec les premiers nombres En tête de colonne, le nombre de départ (de 1 à 20). En jaune, arrêt sur un nombre narcissique. En rose, boucle En rouge, nombre déjà rencontré dans les colonnes
précédentes. Notes:
Le nombre 13 fait apparaître
un cycle avec 133. Les ésotéristes y
voient une signification. Le nombre
153 est aussi important pour eux. Cycle narcissique
aboutissant à 1 Tous les nombres jusqu'à 10 000 dont le cycle se
termine par 1 et la quantité nécessaire de boucle La somme 1 du premier coup est
triviale pour les puissances de 10. En deux cycles, on trouve tous les
nombres dont la somme des chiffres est une puissance de10. Ex: 1234 => 13
+ 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100. Le plus petit nombre exigeant 5
itérations est 13 477 et les suivant (hors permutations) est 17 779. La somme des cubes des quatre
premiers chiffres est égale à 100. Tous les repdigit,
comme tous les multiples de 3, ont un cycle narcissique qui aboutit à 153. Cycles doubles ou
triples Le nombre 919
donne un cycle narcissique à 2 nombres Le nombre 55 donne
un cycle narcissique à 3 nombres Etc.
|
Records de cycles 3-narcissiques dont les
nombres sont tous différents
Longueur du cycle, CYCLE, altitude maximale 8, [2, 8, 512, 134, 92, 737, 713, 371] – 512 11, [6,
216, 225, 141, 66,
432, 99, 1458, 702, 351, 153] – 1 458 12, [68,
728, 863, 755, 593, 881, 1025, 134, 92, 737, 713, 371] – 1 025 14, [177,
687, 1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] – 1 458 15, [12558,
771, 687, 1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99,
1458, 702, 351, 153] – 12 558 Fin, à ma connaissance ! Énigme Quatorze voitures d’une grande administration
sont rangées l’une derrière l’autre sur le
parking officiel de la Préfecture. Je remarque qu’elles portent toutes
un numéro d’immatriculation différent, inférieur à 1500, mais aussi, chose
étonnante, que le numéro de chacune est égal à la somme des cubes des
chiffres du numéro de la voiture placée devant elle. Quel est le numéro de la cinquième voiture
? Réponse par lecture de la liste ci-dessus: 177, 687, … |
Énigme communiqué par Roger Rigaud
Voir Brève
844
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Voir |
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