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Édition du: 09/03/2024 |
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INDEX |
QUADRILATÈRES – Compter |
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RECTANGLES dans un RECTANGLE Amusements avec des rectangles dans un rectangle. Rectangle inscrit dans un triangle: connaissant certaines dimensions,
calculez les autres. Attention, pas si simple! équation du quatrième degré à résoudre. |
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Sommaire de cette page >>> Approche numérique >>> Bilan |
Débutants Glossaire |
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Partage en quatre |
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Problème Un rectangle est divisé en quatre par deux
droites parallèles aux côtés. On connait l'aire de trois rectangles (A, B et
C). Trouver l'aire du quatrième. Observation numérique Sur la figure A = 9, B = 12 et C = 18. On peut se dire que les aires sont
proportionnelles. Essayons: C'est bon ! Observation géométrique La ligne verte montre que les rectangles de
droite sont le double e ceux de droite (en surface). Si B = 12, alors D = 24. |
Calculs des proportions
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Anglais: a rectangle is divided into four rectangles. What is the area of the
fourth rectangle ?
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Problème Un
rectangle 16 x 12. Un
rectangle inscrit dont la largeur vaut 4. Trouvez
la valeur de x et la longueur L de ce rectangle. Mesures (pour ordre de grandeur et
vérification des calculs) x = 2,2 y
= 3,5 et L = 16,3 Remarque: similitude Le
triangle rectangle (x, y, 4) à été reporté dans le grand triangle rectangle
(figuré en blanc) pour mieux apprécier les rapports de similitude. |
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La similitude des triangles permet
d'écrire: |
16x
– x² = 12y – y² |
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Avec le théorème de Pythagore: |
y² = 4² – x² |
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En remplaçant: |
16x
– x² = 12y – 16 + x² |
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En isolant y: |
– 2x²+ 16x + 16 = 12y |
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En élevant au carré et avec la valeur de y² |
(– 2x²+ 16x + 16)² = 12²
(4² - x²) |
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Soit l'équation du quatrième degré: |
4x4
– 64x3 + 336x2 + 512x – 2048 = 0 |
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Avec calculette,
logiciel mathématique ou tableur Quatre solutions dont une négative et deux
complexes à rejeter. |
x
= 2,104 859 071 586 42 … |
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Valeur de y |
y²
= 16 – x² => y = 3,401406810… |
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Longueur du rectangle central |
L²
= (16 – x)² + (12 – y)² L = 16,34046347… |
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Possibilité de trouver la solution à l'équation
avec tableur. On procède par approche progressive (plus ou
moins: dichotomie) |
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Inutile
de donner la formule littérale. Il s'agit d'une équation du quatrième degré.
Autant la calculer directement avec les valeurs numériques. Il
existe d'autres problèmes intéressants du même type:
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Suite |
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Voir |
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