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FRACTIONS Identités Identités remarquables avec les
fractions. Le
componendo et dividendo des anglo-saxons. Pratique
pour simplifier des fractions "compliquées". Componendo = composition en
latin et en italien. Dividendo =
dividende |
Le saviez-vous
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Cette
identité est utilisée pour expliquer que le développement décimal des
fractions est périodique:
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Voir Propriété des divisions par 9, 99, 999…
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Noms en latin |
Propriété |
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Identité de départ |
avec Cette égalité entraîne
toutes les égalités suivantes et réciproquement. |
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Alterando |
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Invertendo |
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Componendo |
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Dividendo |
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Componendo et
dividendo |
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Autre |
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Démonstration express de ces dernières relations
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Formule
avec
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Exemple
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Attention: la valeur des fractions données n'est pas
égale à celle des nouvelles fractions. |
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Componendo Ajoutons 1 de chaque côté de l'égalité. Remplaçons 1 par une fraction égale à 1. Légitime car b n'est pas nul. Addition des fractions de même dénominateur |
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Dividendo Retirons 1 de chaque côté de l'égalité. Remplaçons 1 par une fraction égale à 1 Addition des fractions de même dénominateur |
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Componendo et
dividendo Divisons (1) par (2). Légitime car a-b n'est pas nul. Divisions changée en produit en prenant la fraction inversée. En effectuant le produit et en simplifiant |
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Notons n la valeur de la fraction. Alors. Remplaçons dans l'identité finale. Les deux fractions sont bien égales et, nous avons sa valeur en
fonction du rapport n initial. |
a = b.n
et c = d.n
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L'identité finale entraîne l'identité initiale. Produit en croix. Simplification. Produit en crois à l'envers. |
(a + b)(c – d) = (a – b)(c + d) ac–ad+bc–bd
= ac+ad–bc–bd 2bc = 2ad bc = ad
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Résoudre cette équation. Application de componendo et divendo (C&D). Calcul. Produit en croix. Finalement |
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Résoudre cette équation. Application de C&D Calcul Produit en croix. Solution. Retenue. |
12x² – 36 = 8x² 4x² = 36 x²
= 9 x = 3 ou – 3 x =– 3 Car x = 3 induit
un dénominateur nul dans l'identité de départ. |
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Fraction avec deux nombres complexes et qui est purement imaginaire. |
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Quelle est la valeur du module du nombre complexe z ? |
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Application de componendo et divendo (C&D). Calcul. Inversion du signe. Multiplication par le conjugué pour avoir un
dénominateur purement réel. Calcul du module; Avec z = a+ib => Calcul de R. Conclusion. |
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Suite |
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