Algèbre -équations du deuxième degré

Il dépense	Engrais	x²
	Clôture	4x
	Total	x² + 4x	= x² + 4x + 4 – 4
			= (x + 2)² – 4
En euros			(x + 2)² – 4	= 140
			(x + 2)²	= 144
			x + 2	= 12
Côté du carré			x	= 10

Réponse: le fermier possède un terrain carré de 10 m de côté

Remarque

L'astuce a consisté à remarquer que

x² + 4x

est le début du développement d'un carré remarquable:

(x + 2)² = x² + 4x + 4.

Dans ce cas, il y a une solution évidente:

x² + 4x = x (x + 4) = 140

Il faut trouver deux diviseurs de 140 séparés de 4 unités.

On trouve facilement: x = 10 et x + 4 = 14.

Voir Exercices d'initiation (classe de seconde)

Panorama – Variation sur une équation

Voici l'équation de Cardan déclinée selon le signe et la constante 10 ou 40. En jaune l'équation et en marron plus ou moins foncé, les deux racines réelles ou complexes.

Les pages suivantes vont montrer comment résoudre de telles équations.

Forme polynomiale du second degré
Le trinôme ou forme polynomiale du second degré peut s'écrire de trois façons.
Forme développée			Usage: calcul de limite, de dérivée, d'intégrale.
Forme factorisée			Avec les deux racines réelles lorsqu'elles existent. Usage: étude de signe
Forme canonique			Usage: introduction du discriminant: b² - 4ac
Exemple de mise sous forme canonique
Fonction
Mise en facteur de a
Recherche du début d'un carré (identité remarquable)
On recolle avec notre trinôme, puis calculs
Alternative de calcul
En rapprochant la forme développée de la forme canonique
En égalant les termes semblables
Soit les valeurs de A et B
Application numérique Le point de coordonnées (A, B) est le point d'extremum de la parabole. Celle-ci est symétrique par rapport à la verticale d'abscisse x = 5
Forme canonique explicitée
Poursuivons nos calculs en remplaçant A dans l'expression en B
En remplaçant A et B par leurs valeurs

Pour information:

La parabole

Sommet (5, -157)

Racines:

Exemple avec forme canonique
Une ficelle de 1 mètre de long. On en coupe un morceau de longueur x. Avec ce morceau on forme un carré; avec l'autre, un rectangle deux fois plus long que large. On cherche la valeur de x telles que les deux figures présentent une aire totale minimale.
Carré	P = 4c = x
Rectangle	P = 6L = 1 – x
Aire totale
Forme canonique


Bilan L'aire est minimale pour x = 8/17 = 0,47 … C'est là qu'il faut donner le coup de ciseau. L'aire totale vaut: 1/34 = 0,029 m². Côté du carré: 2/17 = 0,117… m Largeur du rectangle: 3/34 = 0,088… m C'est avec le carré seul (x = 1) que l'aire est maximale (A = 1/16 = 0,0625)

Suite	Un exercice d'approche du deuxième degré Résolution graphique Autre exemple et notations anciennes Exemple avec astuce Deuxième degré avec somme et produit Deuxième degré – Recherche des racines Réduction des termes d'une équation Voir haut de page
Différences secondes constantes ax² + bx + c	Méthode des différences de Babbage Somme des entiers – Méthode des différences Dénombrement des régions du cercle
Voir	Algorithme d'Héron Équations en poèmes Équations énigmatiques – Index Formes quadratiques Méthode de Newton Système d'équations – Somme100
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