NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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INDEX

 

Cercle

 

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Sommaire de cette page

>>> Corde tendue sur un champ

>>> Corde tendue autour d'un champ

>>> Paradoxe de la corde

>>> Pourtant vrai

>>> Le cheval

 

 

 

 

CERCLE et son PÉRIMÈTRE

Paradoxe de la corde autour de la Terre

 

Vous n'allez pas le croire! Une sorte de paradoxe. On commence simplement avec une corde en ligne droite, puis on passe au carré pour arriver au cercle.

Cette page lue, vous pourrez aller vers encore plus incroyable: le paradoxe de la corde soulevée.

 

Rappel:  

Anglais: The string puzzle / Rope around the Earth problem

 

Corde tendue sur un champ

 

Question

Sur ce terrain de 100 mètres de long, je dispose d'une corde qui dépasse cette longueur de 1 mètre.

Un piquet est disposé au milieu du terrain.

Quel est sa hauteur pour que la corde soit tendue ?

 

Réponse

Simple, avec le théorème de Pythagore.

 

En bleu sur le graphe.

 

Avec un terrain de 1 km de long et une corde dépassant toujours de 1 mètre, elle pourrait être soulevée de 22 mètres.

 

h = f (B)     avec L = B + 1

Voir Brève 575

 

Corde tendue autour d'un champ

 

Problème

Un champ de forme carrée (ou rectangulaire) est entouré par une clôture électrique  de longueur L.

On décide d'éloigner cette clôture à une distance h des bords. La clôture est en arc de cercle aux angles.

On cherche à savoir quelle est la longueur de câble à ajouter.

 

Réponse

L'ancienne clôture en bleu se retrouve intégralement pour former la nouvelle. Seules les parties arrondies en rouge ont été ajoutées. En les réunissant, elle forme un cercle de rayon h. 

Conséquence: la clôture doit être allongée de

 

Commentaire

Il est curieux de constater que:

*      l'allongement ne dépend pas du tout de la taille du carré ou du rectangle.

*      Avec le champ en forme de cercle, on retrouve la même propriété et la même formule.

 

 

 

Paradoxe de la corde tendue autour de la Terre

Problème

Une corde est posée sur l'équateur terrestre.
On ajoute 6 mètres de corde.

Quelle est la hauteur de la corde, une fois retendue ?

Terre parfaitement sphérique et corde non-élastique.

 

Réponse

Avec une corde plus longue de seulement 6 mètres, la corde peut s'élever de 1 mètre partout autour de la Terre. Si, si! C'est vrai !

Calcul

 

 

Propriété

En élevant la corde d'une hauteur h sur sphère, la longueur augmente comme la circonférence d'un cercle de rayon h, quel que soit le rayon de la sphère.

Voir   Corde soulevée au-dessus du cercle / Jeu et énigmes

 

 

Paradoxe général

La hauteur ne dépend par du rayon du cercle, que ce soit:

*   L'équateur terrestre

*   Le tour du soleil

*   L'univers

*   Un enclos à moutons en rond

*   Un bassin circulaire

*   Un point

*   Etc.

 

Note: Dans le cas de la Terre, la corde doit être parfaitement tendue. Les moindres ondulations sur l'équateur exigeraient une longueur de corde nettement différente. Sans tenir compte également de la courbure du globe. Expérience de pensée, donc.

 

Applications numériques

Avec un allongement L = 6 mètres, la corde se trouve à h = 0, 955 mètre  1 mètre du sol.

Si on soulève de h = 10 m, la longueur augmente de L = 62, 83 m.

 

Le voyageur autour du monde

Un homme fait le tour de la Terre. Quelle distance supplémentaire parcourt la tête par rapport à ses pieds?

h = 1,80m  L = 11,309 m

S'il faisait le tour de Lune ou celui de Jupiter, le supplément de parcours de la tête serait le même.

 

Voir Paradoxes / Brève 34

 

Chemins parallèles: pourtant véridique !

 

Circuit automobile

 

*      Deux voitures sont sur deux voies séparées de =>
     Quelle est la distance parcourue en plus par l'un d'eux?

 

 

10 m

*      sur le boulevard périphérique de Paris:

30 km

*      sur celui de Londres:

200 km

*      Incroyable! La même dans tous les cas:

62,83 m

62, 83 m

*      Et même sur le circuit automobile à méandres, on trouvera =>

En effet, selon le sens des virages, l'une gagne et l'autre perd du terrain.

62, 83 m

*      Sur un circuit comprenant deux boucles complètes:

La même réponse, mais doublée.

125,66 m

*      Une voiture immobile et l'autre qui tourne autour (à 10 m):

62, 83 m

 

La ceinture

 

*      Chacun met une ceinture et désire ne pas se serrer en donnant un peu d'espace autour de la taille, soit:

Une dame forte, une dame mince, un sumo, une fillette …

*      Dans tous les cas, on allonge la ceinture de seulement:

 

 

10 mm

 

 

62,83 mm

 

L'escalier

*      Un escalier monumental en colimaçon de =>

 

150 marches

*      Chaque marche fait tourner de

12 °

*      Quantité de tours:       150 x 12 / 360 =

5 tours

*      Deux personnes sur l'escalier, séparées de:

*      Avec une personne sur le bord externe,

*      et une personne sur le bord interne.

10 m

*      La différence de parcours est:                 5 x 62,83 =

314 m

 

 

Les pattes du cheval

Un cheval galope durant 10 heures. Ses pattes de gauche parcourent 10 km et celles de droites 11 km.

Expliquer!

T = 10 h

Pg = 10 km

Pd = 11 km

Non, le cheval n'est pas un dahu.
Simplement, il fait le tour d'un manège!

Supposons: écart entre les pattes de droite et celles de gauche:

h = 0,5 m

L'écart de parcours correspond à k tours de manège:

Quantité de tours:

k = 1000 / (2 x 3,14 x 0,5)

   = 318,3 tours

Supposons que le cheval galope à:

10 km / h

Il a parcouru:

10 x 10 = 100 km

Longueur de chaque tour du manège:

100 / 318,3 = 0,314 km

 

 

 

 

Suite

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*      Quadrature du cercle

Site

*      Énigme corde autour de la Terre – Hughes Malherbe – Animation GeoGebra

*      String girdling Earth – Wikipedia

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/Perimetr.htm