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		Sommaire de cette page >>> Carré et un cercle >>> Carré et deux cercles >>> Carré et trois cercles >>> Carré et quatre cercles		>>> Carré et cinq cercles >>> Carré et six cercles >>> Bilan >>> Cercles quelconques

Carré le plus grand

couvert par k cercles identiques

On dispose d'une dalle carrée. Quelle est le rayon minimum des k disques nécessaires pour couvrir entièrement la dalle ? Ou inversement, la taille du plus grand carré couvert par k disques ? Problème dual du problème d'empilement.

On sait: Problème simple pour k jusqu'à 4. Pas évident pour k = 5. Optimum non prouvé pour k = 6. Prouvé pour 7. Une des références montre les solutions actuelles pour k jusqu'à 30.

Exemple ave k = 30 =>

Anglais: How must the unit square be covered by k equal circles, so that the radius r of the circles will be as small as possible? This covering problem is the dual counterpart of the packing problem.

Carré et un cercle

Problème

Quel est le côté du plus grand carré recouvert entièrement par un cercle de rayon r.

Solution

Il s'agit du carré inscrit dans le cercle.

Avec Pythagore:

d²	=	2c²
d	=
r	=
c	=

Carré et deux cercles

Problème

Quel est le côté du plus grand carré recouvert entièrement par deux cercles de rayon r.

Solution

Le cercle 1 passe par A et D.

Le cercle 2 passe par B et C.

Les deux cercles sont interchangeables. La figure est symétrique. Les deux cercles passent par E et F, les milieux de AB et DC.

Dans le triangle rectangle BCE inscrit dans le cercle, BE est un diamètre.

d²	=
d	=
r	=
c	=

Carré le plus grand couvert par deux cercles identiques de rayon R. Son côté vaut 0,89…d.

Carré et trois cercles

Problème

Quel est le côté du plus grand carré recouvert entièrement par trois cercles de rayon r ?

Solution

On retrouve deux cercles comme pour le cas précédent. Ils ne recouvrent pas entièrement le carré, laissant le troisième le faire.

Les trois cercles forment un trèfle régulier à trois pétales.

On note AE = x, EB = y et d le diamètre des cercles.

Le point G est le milieu de AD.
Si AD = c, AG = 1/2 c.

(1) dans AEG	d²	=
(2) dans BEC	d²	=	y² + c²
(3)	c	=	x + y
(4) = (3) dans (1)	d²	=
(5) avec (2) et (4)	y² + c²	=
Simplification	0	=
Valeur de y	y	=
Valeur de d	d²	=
	d	=
	r	=
	c	=

Notez que le troisième cercle couvre bien la partie non couverte par les deux premiers. Le cercle n'est pas tangent, mais il déborde et passe par les points E et B.

Carré et quatre cercles

Problème

Quel est le côté du plus grand carré recouvert entièrement par quatre cercles de rayon r ?

Solution

Chacun des quatre cercles est circonscrit à un carré de côté c/2.

d²	=
d	=
r	=
c	=

Carré et cinq cercles
Problème Quel est le côté du plus grand carré recouvert entièrement par cinq cercles de rayon r ? Construction de la solution Carré bleu de côté 10 cm; sa médiane verticale. Compas ouvert r = 0,32616058 … x 10 = 3,26 … Cercle de ce rayon (vert) passant par un sommet et le milieu du côté supérieur. Idem de l'autre côté. Cercle centré sur la médiane passant par l'intersection inférieure des deux cercles. Cercles latéraux-bas passant par un sommet et les deux intersections de cercles.

Carré et six cercles
Problème Quel est le côté du plus grand carré recouvert entièrement par six cercles de rayon r ? Solution La solution la plus optimale connue est celle-ci avec: r = 0,29872706 … c La construction n'est pas évidente. Elle résulte d'un calcul d'optimisation qui délivre les coordonnées des points de construction. Résolution d'équations de degré élevé.

Bilan

Ce tableau récapitule les valeurs du rayon r des k cercles couvrant le carré unité. La suite du tableau et les figures correspondantes pour k = 1 à 30 se trouvent dans l'article en première référence.

k et r

Cas des cercles quelconques
Certains cherchent la taille maximale du carré sans se donner la contrainte du rayon constant. Voici deux exemples avec quatre et cinq cercles. Voir Les références

Suite	Rectangle inscrit dans un cercle Sangakus – Autres constructions géométriques Arbelos Carré et deux cercles tangents Cercle inscrit Quatre cercles Rayon du cercle circonscrit Sangakus
Voir	Cercle – Index Cercles et triangles Géométrie – Vocabulaire Périmètre
Sites	Covering a square with up to 30 equal circles - Kari J. Nurmela and Patric R. J. Ostergard Covering a square by equal circles – Tibor Tarnai and Zsolt Gaspar – 1995 Conjecturally Optimal Coverings of an Equilateral Triangle with Up to 36 Equal Circles – Kari J. Nurmela How few disks are needed to cover a square efficiently? – Mathematics Best known covering of a square by n circles – Math Magic – Erich Friedman – 2005 Circle packing – Wikipedia
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/CarreMax.htm