NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 29/06/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Les cercles inscrits et exinscrits >>> Cas du triangle de Pythagore >>> Cas de trois droites dont eux parallèles

CERCLES EXINSCRITS

Ils sont trois pour tout triangle.

Les trois centres sont les sommets du triangle exinscrit.

Les trois cercles exinscrits et le cercle inscrit répondent au problème n°3 d'Apollonius: Cercles tangents à trois droites (DDD ou LLL)

Voir Définitions des trois types de cercles

Les cercles inscrits et exinscrits
Le triangle ABC et le prolongement de ses côtés (bleu). Les quatre cercles sont tangents à trois côtés internes ou externes. Le cercle inscrit a pour centre I et les trois exinscrits JA, JB et JC. Ces trois points forment le triangle exinscrit. Les droites qui les joignent sont les bissectrices des angles intérieurs et extérieurs.
Par comparaison des aires, un calcul conduit à l'expression du rayon des cercles exinscrits.		avec s = ½ (a + b + c)
Avec les deux autres cas et celui du cercle inscrit. La valeur de l'aire peut être calculée avec la formule de Héron.
Un peu de calcul permet de calculer:
Relations entre les rayons:

Cas du triangle de Pythagore
Caractérisation des côtés du triangle (triplet de Pythagore).	a = u² – v², b = 2uv, c = u² + v² Avec u > v
Aire:	A = ½ (u² – v²) 2uv = uv (u – v) (u + v)
Rayons (calculs faits): avec s = ½ (a + b + c)
Les nombres u et v étant entiers (u > v), les rayons sont des nombres entiers positifs.	Théorème La longueur du rayon des cercles exinscrits dans un triangle de Pythagore sont des nombres entiers. C'est le cas aussi pour le rayon du cercle inscrit, mais pas pour le circonscrit.
Cas du triangle (3, 4, 5) avec u = 2 et v = 1 Voir figure Les rayons sont alors: inscrit: 1 exinscrits: 2, 3 et 6 circonscrit: 2,5. Cas du triangle (5, 12, 13) avec u = 3 et v = 2 Les rayons sont alors: inscrit: 2 exinscrits: 3, 10 et 15 circonscrit: 7,5.

Cas de trois droites dont deux parallèles
But Construire les deux cercles rouges tangents aux trois droites bleues dont deux sont parallèles. Construction Point I milieu de GH. Parallèle en I aux droites bleues. Cercle (G, GI). Intersections J et K. Parallèles en J et K à la droite bleue sécante. Intersections L et M. Perpendiculaires en L et M à une des droites parallèles. Intersections N et O Cercles (L, LN) et (M, MO) qui sont les deux cercles cherchés (rouges).

Suite	Cercles d'Apollonius Rayon du cercle circonscrit Cercles exinscrits de Conway Cercle inscrit Puissance d'un point par rapport à un cercle Triangle exinscrit et Mittlepunkt
Voir	Cercles et triangles Cercle – Index Géométrie – Vocabulaire Bissectrices Sphère Cône
Site	Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle – Wikipédia
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/CerclExi.htm