NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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CERCLE

 

Débutants

Géométrie

CERCLES INSCRITS …

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Cercles

 

Triangles

 

Index

Inscrit

SANGAKUS

Deux cercles – Triangle

Introduction

Inscrit (suite)

Jumeaux

Deux cercles – Carré

Puissance

Circonscrit

Carré max

Deux cercles – Carré et triangle

Exinscrits

Face à face

Trois cercles – Construction 

Trois cercles – Tr. Équilatéraux

Quatre cercles – Construction 

 

Sommaire de cette page

>>> Cercles inscrits dans le carré – Construction

>>> Carré inscrit à deux cercles tangents – Construction

>>> Deux cercles identiques dans un carré

>>> Deux couples de cercles identiques dans un carré

>>> Deux cercles dans un carré

>>> Aires min et max

   

 

 

 

Les deux cercles dans le carré

Deux disques dans un carré

 

Comment construire deux cercles tangents dans le carré ?

Quelle est l'aire maximale pour ces deux cercles ?

 

Théorème du face à face  (eyeball theorem)

Les deux cordes sous les arcs roses ont même longueur.

Voir Explications, théorème et preuve

 

 

Cercles inscrits dans le carré – Construction

 

Construction

Un carré et ses diagonales.

Tracer le cercle inscrit dans chacun des triangles rectangles.

 

Méthode (commune à tous les triangles)

Bissectrices des angles (vertes).

Point de concours = centre du cercle.

 

Construction du cercle bleu symétrique pour avoir deux cercles identiques inscrits dans le carré.

 

 

 

Carré inscrit à deux cercles tangents – Construction

 

 

Construction

Deux cercles tangents.

Construire le carré circonscrit.

 

Méthode

Droite joignant les centres.

Carré (vert) sur un rayon externe.

Intersection cercle avec diagonale du carré.

Carré (orange) porté par la diagonale.

 

Perpendiculaire verticale au point de tangence des deux cercles (bleue).

 

Droite portée par un côté du carré orange. Intersection avec la perpendiculaire bleue.

 

Carré orange sorte d'extension du petit carré orange.

 

 

 

 

Deux cercles identiques dans un carré

 

Question

Un carré de côté AB = 1.

Deux cercles de rayon R, tangents entre eux et tangents chacun aux côtés du carré.

Quel est le rayon R ?

 

Calcul



 

 

 

Deux couples de cercles identiques dans un carré

 

Question

Le carré avec ses deux cercles tangents comme ci-dessus.

Les deux petits cercles tangents sur l'autre diagonale.

Quel est le rayon de ces cercles ?

 

Calcul

Dans le triangle rectangle OEH


Or, avec les diagonales des carrés:

En reprenant la relation en carrés

Sous forme d'une équation en r

Racine compatible
avec R > r

 

L'autre racine vaut: 2,37528…

 

 

 

Deux cercles de rayons différents dans un carré

Un carré et deux cercles tangents entre eux et tangents aux côté du carré.

 

Construction

*      Dessiner le carré et sa diagonale.

*      Dessiner le carré AE. Le point E est  centre du petit cercle bleu. Ce cercle coupe AC en G.

*      À partir des deux autres sommets du petit carré, tracez les droites passant par G et qui coupent le grand carré.

*      À partir de ces nouveaux points d'intersection, dessinez le carré CF, puis le cercle de centre F.

Les deux cercles sont homothétiques.   

 

Aires min et max

Relation sur la diagonale AC

 

=> R + r  = constante

 

 

Aire des cercles

Aire minimale

 

Si R = r

G est au centre du carré

Aire maximale

 

Si R max = a / 2

 

 

Configuration en aire maximale

Vérification avec GeoGebra

 

Calcul avec formule

A = 10; R = 5; r = 0,8578 …

S = 80,8518 …

 

Pour GeoGebra:

S = 78,54 + 2,31 = 80,85

 

 

 

 

 

Suite

*      Sangakus

*      Rayon du cercle circonscrit

*      Cercle inscrit

*    Puissance d'un point par rapport à un cercle

Voir

*      Bissectrices

*      CercleIndex

*      Cercles et triangles

*      Cône

*      Diamètre

*      GéométrieVocabulaire

*      Périmètre

*    Sphère

Sites

*      Empilement des cercles dans un carré – Wikipédia

*      Deux disques dans un carré – Université de Lyon – Proposition de travaux

*      Empilements dans le plan – Descartes et les Mathématiques

*        Olympiades académiques 2008 – Descartes et les Mathématiques

*      Olympiades académiques de première – 2002 – Académie de Poitiers – Propose plusieurs solutions

*       11) Sangakus : 2 cercles tangents dans un carré –Mathieu Morinière

*       Sangaku – Cut The Knot – Réflexions et Index d'accès à de nombreux Sangakus

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/DeuxCerc.htm