Quart d'ellipse et cercle inscrit

La solution analytique conduit à résoudre des équations du quatrième degré et ne permet pas de donner une formule simple du type r = f(a, b) avec a et b, les demi-axes de l'ellipse.

et plus

Sommaire de cette page

>>> Cercle et ellipse

>>> Cercle et ellipse centrés

>>> Cercle avec ellipse décalée
>>> Cercle avec ellipse décalés en équerre

>>> Quart d'ellipse – Tracé approché

>>> Résolution – Recherche du lieu du centre

>>> Résolution analytique par logiciel (Maple)

>>> Bilan

Débutants

Géométrie

Glossaire

Géométrie

Humour

Pourquoi les cercles n'invitent jamais les ellipses à leurs soirées ?

Elles sont trop excentriques !

Why won't the circles invite the ellipses over for diner ? They are too eccentric !

Voir Pensées et Humour

Cercle et ellipse

haut

Intersections

Selon leur position respectives et leur taille, le cercle intersecte l'ellipse en 0, 1, 2, 3 ou 4 points.

Détermination

Calculer les coordonnées des points d'intersection n'est simple que si:

les axes de l'ellipse sont parallèles aux axes de coordonnées;

l'ellipse et le cercle sont centrés à l'origine du système de coordonnées ou éventuellement décalée sur un des axes, mais pas les deux.

Cercle et ellipse centrés		haut
Construction Une ellipse de demi-axes a = 5 et b = 3. Un cercle de même centre et de rayon 3,5. Les quatre points d'intersection A, B, C et D. Coordonnées des intersections
Équation du cercle et équation de l'ellipse
Développement	b²x² + a²r² – a²x² = a²b² x² (b² – a²) = a² (b² – r²)
Valeur de x Calcul identique pour y

Cercle avec ellipse décalée		haut
Cercle Ellipse
Développement Équation du second degré à résoudre
Application numérique La première solution est recevable, pas la seconde. Elle est conforme aux valeurs relevées sur le graphe.	(9 – 4) x² – 2 × 1 × 9x + (4 – 9) 4 + 1 × 9=0 5x²- 18x –11= 0 x₁ = -0,53238… x₂ = 4,13238 … y₁ = 1,92784… y₂ = -3,61615…

Cercle avec ellipse décalés en équerre

haut

Dans ce cas, il est préférable de centrer les axes sur l'un des objets; le plus simple, le cercle.

Cercle centré
x² + y² = r²
r = 4

Ellipse décentrée

h = -2, k = 1, a = 4 et b = 7

Résolution numérique
Équation

49(x² + 2x + 4) + 16(y² + 2y - 1) = 28²

49x² + 196x + 16y² +32y – 572 = 0

Avec y² du cercle
y² = 4² – x²

Radical isolé

Puis carré

Équation du quatrième degré

Solution réelle

Coordonnées recentrées

-1089x⁴ – 12936x³ – 18584x² +123872x – 83472 = 0

x1 = 2 + 0,85196… y1 = - 3,90821…
x2 = 2 + 1,71018… y2 = 3,61597…

Commentaires

Calcul lourd ! Surtout sans logiciel.

Le passage au carré génère de fausses solutions.

De toute manière impossible de proposer une formulation directe.

Finalement, un tel calcul est déjà réalisé par le logiciel GeoGebra, alors pourquoi se priver.

Alors le cercle inscrit dans le quart d'ellipse ?

Avec l'ellipse, les choses ne sont jamais très simples.

La solution géométrique n'existe pas (à ma connaissance). GeoGebra vient à notre secours pour une solution aussi approchée qu'on le veut.

La solution analytique demande à connaitre les coordonnées des points d'intersection du cercle avec l'ellipse. Nous venons de voir la difficulté du calcul.

Quart d'ellipse – Tracé approché		haut
Construction Une ellipse de foyer F et F' avec a et b les longueurs des demi-axes. Le cercle bleu inscrit dans le quart de l'ellipse: tangent en P à l'ellipse et en A et B aux axes. Question Quel est le rayon r du cercle en fonction des longueurs a et b des demi-axes ?
Expérience graphique Ellipse avec a = 5 et b = 3. Il n'existe pas de construction exacte avec la règle et le compas (à ma connaissance). Avec GeoGebra, le cercle est mis en position d'intersection de l'ellipse. N est le point milieu de la corde commune au cercle et à l'ellipse. Le point de tangence est atteint si la longueur de la corde est nulle. C'est-à-dire si les deux points noirs sont confondus avec le point rouge. Le rayon du cercle est alors voisin de 1, 43.	Approximation

Construction GeoGebra

Rappel

Le logiciel GeoGebra est très simple et gratuit. C'est le "Word" de la géométrie. Très utile pour s'amuser. Précieux pour tester les solutions avant de les calculer; etc.

Opérations

Mettre un point aux quatre sommets de l'ellipse souhaitée.
Construire l'ellipse avec l'outil ellipse.

Mettre un curseur : outil curseur, puis cliquer sur la zone de travail. Le dessin du curseur est affiché. Le régler de 0 à 5 par exemple et le nommer r.
Cercle de centre O et de rayon r. Intersection A sur l'axe X.
Perpendiculaires en A et B aux axes; Intersection en E.
Cercle centré en E et rayon EA.
Point milieu entre les deux points d'intersection du cercle avec l'ellipse.
Déplacer le curseur pour atteindre une zone d'intersection cercle-ellipse.

Affiner la plage d'excursion du curseur: cliquer-droit sur le curseur et sélectionner propriétés, puis introduire min, max et incrément de manière à affiner la convergence.

Exemples

Solution analytique – Laborieuse !			haut
Données On raisonne avec une application numérique en reprenant les données ci-dessus. On sera amené à conclure que la présence de radicaux exclut la possibilité d'une belle formule pour r = (a, b). Démarche On raisonne à partir des équations de courbes en prenant E comme origine des axes, ce qui simplifie l'équation du cercle et permet de donner une valeur à y².		Équation du cercle Il est centré sur le point E (0, 0) Équation de l'ellipse Elle est centrée sur O (-r, -r):
Résolution de ces équations En remplaçant y par sa valeur dans l'équation de l'ellipse. Une équation en x² = X avec présence sous un radical.
Isolation du radical et mise au carré pour le supprimer. Conséquence, une équation du quatrième degré en x. *Je laisse le soin au lecteur courageux de poursuivre ce calcul …*	*Voir la démarche ci-dessus.*

Résolution – Recherche du lieu du centre			haut
Construction On choisit OA =xp comme variable, l'abscisse du point P sur l'ellipse Tangente en P et sa normale (verte). Bissectrice de l'angle entre les deux axes (verte). Intersection G Le centre du cercle inscrit se trouve en G à condition de bien choisir xp. En effet: Il est sur la normale à la tangente en P, et Il est sur la bissectrice pour assurer la tangence aux axes. Depuis le point G, un perpendiculaire détermine le point H. OH = HG correspond au rayon du cercle cherché. La dernière condition à remplir: GH = GP pour assurer que le cercle passe par P. Le centre du cercle est donc sur la bissectrice de HP. Il est aussi sur la tangente. Donc en G'.
Bilan: il faut ajuster xp pour que G et G' soient confondus. Avec cette méthode, il est aussi possible d'ajuster le curseur xp pour arriver plus finement à la coïncidence.

Résolution analytique par logiciel (Maple)

haut

But

Trouver les coordonnées du point P et la valeur du rayon du cercle inscrit dans le quart d'ellipse.

Commentaires

La variable est xp. La valeur de yp est calculée via l'équation de l'ellipse.

La normale au point de tangence a pour équation y = ax + b avec a = ap et b = bp.

On cherche (A), l'égalité xg = yg sur cette droite avec solve. L'instruction subs permet d'extraire la valeur numérique de xg dans A, la solution de l'équation.

Calcul des coordonnées (xq, yq) du point Q milieu de HP.

La médiatrice a pour équation y = ax + b avec a = aq et b = bq.

On cherche (B) l'égalité xgg = ygg sur cette droite avec solve.

Ayant les coordonnées de G (xg, yg) et de G' (xgg, ygg), on cherche les conditions d'égalité avec solve (C).

Parmi toutes les solutions, on choisit la première C[1].
Le programme imprime Xp = xp:

On calcule les autres valeurs en reprenant les équations du haut, mais avec, cette fois, une valeur numérique pour xp.

Le programme imprime:

Voir Programmation – Index / Équation de la droite

Bilan

Recherche du rayon du cercle inscrit dans le quart de cercle:

Deux méthodes de constructions approchées (ou ajustées) à l'aide de l'outil GeoGebra; et

Deux propositions de solution analytique:
l'une montrant que la solution passe par la résolution d'une équation du quatrième degré, et
l'autre, toujours du quatrième degré, est résolue en utilisant un logiciel mathématique.

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Sites Aucun ne donne la solution au problème du quart d'ellipse.	L'ellipse et le cercle – ChronoMath Intersection de deux coniques – Gilles Dubois Cercle inscrit dans une ellipse - Université e Laval Circle-Ellipse Intersection – Wolfram MathWorld Ellipses: incircle and circumcircle Find the Points of Intersection of a circle and an ellipse Intersection of Elipses**** – David Eberly – 2020
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