NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 26/06/2020 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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NOMBRES PENTAGONE,

HEXAGONE …

Nombres figurés en forme de polygones.

Comme pour tous les nombres géométriques, en les dessinant on peut trouver des découpes qui donnent des relations entre eux. Pavages des nombres géométriques.

Voir

Illustration

Formules et valeurs

NOMBRES PENTAGONAUX
P^5	= { 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, … }
P^5n	= 1/2 n (3n – 1) = { 3n² – n } /2 = 1/3 T3n-1 = 1/3 x 1/2 (3n–1)(3n) = 1/2 n(3n – 1) = 3 Tn-1 + n = 3 x 1/2 x (n–1)n + n = 3/2 x n² – 1/2 x n = Tn-1 + n²	P^53 = 1/2 x 3(9-1) = 12 = 1/3 x 36 = 12 = 3 x 3 + 3 = 12 = 3 + 9 = 12

Voir Développements sur les nombres pentagonaux

NOMBRES HEXAGONAUX
P^6	= { 1, 6, 15, 28, 45 … }
P^6n	= n (2n – 1) = 2n² – n = T2n-1 = 1/2 x (2n–1) 2n = 1/2 (4n² – 2n) = 2n² – n = 4 Tn-1 + n = 4 x 1/2 x (n–1)n + n = 2n (n–1) + n = 2n² – n = 3 Tn-1 + Tn = 3/2 (n–1)n + 1/2 n(n+1) = 1/2 { 3n² – 3n + n² + n } = 2n² – n	P^63 = 3 (6-1) = 15 = 15 (5^e triangulaire) = 4 x 3 + 3 = 15 = 3 x 3 + 6 = 15
Théorème des nombres hexagonaux	Les nombres hexagonaux sont égaux à un nombre triangulaire sur deux: les triangulaires impairs: Hn = T2n-1
	Tous les nombres parfaits sont hexagonaux et donc triangulaires.

Voir Développements sur les nombres hexagonaux

NOMBRES K-GONAUX
P^7 P^8 P^9 P^10	= { 1, 7, 18, 34, 55 … } = { 1, 8, 21, 40, 65 … } = { 1, 9, 24, 46, 75 … } = { 1, 10, 27, 52, 85 … }	Heptagonaux Octogonaux Ennéagonaux Décagonaux
P^kn	= 1/2 {kn(n – 1)} – n(n – 2) = (k – 2) Tn-1 + n
Table des polygonaux de k = 1 à 10	Voir Suite 20x20
À noter	Ils commencent tous par 1 puis n Pour une même valeur de k (colonne du tableau) la différence est kn – 2n + 1 Pour une même valeur de n (ligne du tableau), la différence est constante: 1/2 n(n+1) Chaque nombre est une somme particulière.
Calcul simple

Suite	Pair et impairs Voir haut de page Pentagone et étoile à 5 branches Hexagone et étoiles à 6 branches
Nombres géométriques	Introduction Valeurs Théorie
Aussi	Calcul mental– Index Géométrie – Index Liste des noms des nombres Partition Somme des cubes des entiers
Site	Figurate numbers d'Eric Weisstein Absolument intarissable sur le sujet
Livre	Pour développements complets,voir Conway et Guy " The book of numbers " (Le livre des nombres)
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/SixHexa.htm