NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 05/12/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	Divisibilité
Débutants Division	Produit de nombres consécutifs				Glossaire Division
INDEX Divisibilité	Général	2 Nb	3 Nb / pair	3 Nb / impair
	Récapitulatif	4 Nb	5 Nb / pair	5 Nb / Impair
		Sommaire de cette page >>> Approche >>> Observation des valeurs numériques >>> Explications – Cas des multiples de 4

Produit de QUATRE nombres consécutifs

Toujours divisible par 24 au moins

Approche
Le produit de quatre nombres consécutifs est divisible par 24 Que peut-on dire de plus ?	24 | (n – 1) n (n + 1) (n + 2) Exemple 1 x 3 x 4 x 5 = 24 3 x 4 x 5 x 6 = 360 = 24 x 15
Rappel (n-1) n (n+ 1) = n (n -1) (n + 1) = n (n² - 1) = n^3 - n Note (n-1) n (n+ 1) (n + 2) = (n^3 – n) (n + 2) = n^4 + 2n^3 – n^2 – 2n Notation: la barre verticale signifie "divise"

Observation des valeurs numériques
Le tableau donne la valeur du produit P = (n-1) n (n+1) (n+2) Ce produit est divisé successivement par 24, 48, 96 et 192 En rouge les valeurs exactes
Conclusions liées aux observations	Pour n pair: (n – 1) n (n + 1) (n + 2) Divisible par 24 dans tous les cas Divisible par 48 pour n = 8k-2, 8k-1, 8k et 8k+1 Divisible par 96 pour n = 16k-2, 16k-1, 16k et 16k+1 Divisible par 192 pour n = 32k-2, 32k-1, 32k et 32k+1 …

Les nombres produits de quatre nombres consécutifs divisés par 24

comme nombres de la cinquième diagonale du triangle de Pascal

Explications - Cas de 8k
Calculons notre produit avec les diverses valeurs de 8k – 3 à 8k + 4	(n – 1) n (n + 1) (n + 2) 8*k-3 => 8 *(2*k-1)*(8*k-3)*(4*k-1)*(8*k-1) 8*k-2 => 16 * k *(8*k-3)*(4*k-1)*(8*k-1) 8*k-1 => 16 * k *(4*k-1)*(8*k-1)*(8*k+1) 8*k => 16 * k *(8*k-1)*(8*k+1)*(4*k+1) 8*k+1 => 16 * k *(8*k+1)*(4*k+1)*(8*k+3) 8*k+2 => 8 *(8*k+1)*(4*k+1)*(8*k+3)*(2*k+1) 8*k+3 => 8 *(4*k+1)*(8*k+3)*(2*k+1)*(8*k+5) 8*k+4 => 8 *(8*k+3)*(2*k+1)*(8*k+5)*(4*k+3) Notation ordinateur: * pour le produit et ^pour la puissance
Nous constatons que dans 4 cas la divisibilité est de 16 au lieu de 8, soit un facteur 2 supplémentaire à la normale	24 | (n-1) n (n+1) (n + 2) dans tous les cas 48 | (n-1) n (n+1) (n + 2) dans 4 cas, lesquels correspondent aux progressions arithmétique par 8 de l'un des quatre facteurs (comme 6, 14, 22, 30 …)
Note: Lorsque n = 8k, l'ensemble du produit (n-1) n (n+1) (n + 2) est divisible par 8k ; le nombre n+2 = 8k+2 est également divisible par 2 ce qui engendre une divisibilité totale de 16 Lorsque n = 8k+1, le facteur n-1 devient 8k et l'ensemble du produit (n-1) n (n+1) (n + 2): Le facteur n+1 = 8k +2 est divisible par 2. Le produit complet est divisible par 16 … Lorsque n = 8k+2, le produit (n-1) n (n+1) (n + 2) devient (8k+1) (8k+2) (8k+3) (8k+4) et aucun facteur ne donne la divisibilité par 8k. De plus cette configuration, contrairement au quatre favorables, introduit un terme constant dans le développement du produit qui ne confère aucune divisibilité supplémentaire

Suite en Divisibilité du produit de cinq nombres consécutifs / pairs

Suite	Divisibilité du produit de trois nombres consécutifs – cas impair Nombres pairs et impairs – théorie Divisibilité de la somme de nombres consécutifs Produit de consécutifs = carré? Factorielles tronquées et leur divisibilité
Voir	Nombres consécutifs – Index Divisibilité – Index Divisibilité – Formes divisibles selon les diviseurs Divisibilité des nombres consécutifs – Démo Somme de q nombres divisibles par q
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