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PN:
Pannumériques
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CONCATÉNATIONS PANNUMÉRIQUES Nombre pannumériques
formés par concaténations:
Pannumérique signifie:
Exemple d'un cas rare
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Anglais: pandigital numbers / nine digits or
ten digits
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Paires pannumériques Une paire
concaténée est dite pannumérique si le nombre résultant contient tous les
chiffres au moins une fois. |
Exemple Soit les
nombres: 123567, 908234, 14765, 19804 Combien de
configurations pannumériques par concaténation de deux d'entre eux ? |
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Programme Maple
Résultat Le programme a détecté trois cas de
concaténations pannumériques. Aucune ne contient les chiffres un fois
exactement. |
But Recherche de
paires pannumérique parmi une liste de nombres. Commentaires Appel des
logiciels de combinatoire. Énoncé de la
liste de nombres. Recherche des
combinaisons (choose). Il y en a six. Boucle sur
chacune de ces combinaisons. Concaténation (cat) des deux nombres et conversion des
caractères en nombres avec parse. Conversion (convert) du nombre en base 10 pour disposer des
chiffres et demande de tri et suppression des doublons avec les accolades
{ }. Si cet ensemble
(nn) contient exactement dix éléments, alors tous les chiffres sont présents
au moins une fois. Impression des
deux nombres et de leur concaténation. |
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Sur Internet Number
of pairs with Pandigital Concatenation par GeeksforGeeks |
Programmes Python, C++, Java, C# et PHP Avec méthode
directe (brute force) ou méthode optimisée (efficient). Méthode
optimisée: en gros, le premier nombre étant donné, ne chercher que des
nombres contenant le complément pannumérique. Cette méthode
plus astucieuse, mais plus difficile à implémenter ne se justifie que pour
des recherches de grande ampleur. |
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Multiplications d'un même nombre Combien
de multiplications d'un nombre par 1, 2,3 … sont nécessaires pour obtenir
l'ensemble des chiffres de 1 à 9 au moins une fois. Les deux seules paires de nombres
cousins avec multiplications pannumériques
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Résultats (les seuls) 192, 384, 576,
Exact pannum 1-9 219, 438, 657,
Exact pannum 1-9 267, 534, 801,
Presque pannum (0 mais pas 9) 273, 546, 819,
Exact pannum 1-9 327, 654, 981,
Exact pannum 1-9 354, 708, 1062,
Exact pannum 0-9 364, 728, 1092,
Exact pannum 0-9 454, 908, 1362,
Exact pannum 0-9 Il existe quantité de
configurations telles que: 543, 1086, 1629,
Pannum 0-9 avec doublons 546, 1092, 1638 654, 1308, 1962 783, 1566, 2349,
Pannum 1-9 avec doublons 792, 1584, 2376 |
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Voir Project
Euler Problem 38: Pandigital multiples – Programmation Python
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Puissances d'un même nombre Quelles
concaténations des puissances d'un
nombre produit un nombre pannumérique strict ou large. |
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Les trois seuls motifs NPP0-9
stricts
Motifs NPP0-9 avec doublons n, k1, k2, nk1, nk2, qté chiffres 23, 3, 6, 12167,
148035889, 14 38, 3, 6, 54872,
3010936384, 15 38, 5, 6,
79235168, 3010936384, 18 39, 5, 6,
90224199, 3518743761, 18 42, 5, 6,
130691232, 5489031744, 19 44, 4, 6,
3748096, 7256313856, 17 47, 4, 5,
4879681, 229345007, 16 47, 4, 6,
4879681, 10779215329, 18 51, 5, 6, 345025251, 17596287801, 20 … Puissances k1,
k2 limitées à 6. En illimité, tous les
nombres sont évidemment représentés. |
Les trois seuls motifs NPP1-9
stricts
Plus petit motifs NPP1-9 avec
doublons n, k1, k2, nk1, nk2, qté chiffres 14, 4, 6, 38416,
7529536, 12 17, 2, 6, 289,
24137569, 11 17, 4, 6, 83521,
24137569, 13 17, 5, 6, 1419857,
24137569, 15 38, 2, 5, 1444,
79235168, 12 38, 3, 5, 54872,
79235168, 13 44, 5, 6,
164916224, 7256313856, 19 … Puissances k1,
k2 limitées à 6. En illimité, tous les
nombres sont évidemment représentés. |
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Voir Carrés
pannumériques carrés et puissances – Table
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Soit les
puissances k successives d'un nombre. Quel est
le plus petit nombre tel que son carré et
lui-même contiennent au moins une fois tous les chiffres. Et avec le cube ?
etc. Exemples Avec le carré: 1807, 3265249, 10, 11 veut dire: Avec le carré et le cube: 157, 24649, 3869893, 9, 15 veut
dire: |
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Sélection |
Pannumérique
0-9 |
Pannumérique
1-9 |
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2-puissant Motifs avec n et n² |
1807, 3265249,
10, 11 2396, 5740816,
10, 11 3257, 10608049,
10, 12 3698, 13675204,
10, 12 3908, 15272464,
10, 12 3968, 15745024,
10, 12 4073, 16589329,
10, 12 4554, 20738916,
10, 12 |
1279, 1635841,
9, 11 1892, 3579664,
9, 11 1894, 3587236,
9, 11 1964, 3857296,
9, 11 2163, 4678569,
9, 11 2183, 4765489,
9, 11 2317, 5368489,
9, 11 2414, 5827396,
9, 11 |
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3-puissant Motifs avec n, n² et n3 |
69, 4761,
328509, 10, 12 128, 16384,
2097152, 10, 15 144, 20736,
2985984, 10, 15 187, 34969,
6539203, 10, 15 203, 41209,
8365427, 10, 15 214, 45796,
9800344, 10, 15 223, 49729,
11089567, 10, 16 234, 54756,
12812904, 10, 16 302, 91204,
27543608, 10, 16 |
157, 24649,
3869893, 9, 15 161, 25921,
4173281, 9, 15 167, 27889,
4657463, 9, 15 178, 31684,
5639752, 9, 15 181, 32761,
5929741, 9, 15 196, 38416,
7529536, 9, 15 215, 46225,
9938375, 9, 15 233, 54289,
12649337, 9, 16 244, 59536,
14526784, 9, 16 |
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4-puissant Motifs avec n, n², n3 et n4 |
18, 324, 5832,
104976, 10, 15 54, 2916,
157464, 8503056, 10, 19 57, 3249,
185193, 10556001, 10, 20 59, 3481,
205379, 12117361, 10, 20 67, 4489,
300763, 20151121, 10, 20 69, 4761,
328509, 22667121, 10, 20 71, 5041, 357911,
25411681, 10, 20 79, 6241,
493039, 38950081, 10, 20 84, 7056,
592704, 49787136, 10, 20 |
23, 529, 12167,
279841, 9, 16 27, 729, 19683,
531441, 9, 16 61, 3721,
226981, 13845841, 9, 20 66, 4356,
287496, 18974736, 9, 20 76, 5776, 438976,
33362176, 9, 20 83, 6889,
571787, 47458321, 9, 20 88, 7744,
681472, 59969536, 9, 20 91, 8281,
753571, 68574961, 9, 20 96, 9216,
884736, 84934656, 9, 20 |
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Pannumérique 0-9 Soit un
nombre n. Ses puissances successives. En les
concaténant successivement, à partir de quelle puissance tous les chiffres de
0 à 9 sont présents au moins une fois ? |
Liste
pour n de 1 à 100 Lecture: avec 2 il faut
concaténer les puissances de 1 à 15 pour disposer de tous les chiffres de 0 à
9 au moins une fois et ce nombre comporte 44 chiffres. [2, 15, 44], [3,
10, 30], [4, 10, 39], [5, 11, 51], [6, 12, 67], [7, 7, 27], [8, 5, 15], [9,
6, 21], [11, 7, 35], [12, 6, 27], [13, 6, 27], [14, 7, 36], [15, 9, 58], [16,
5, 21], [17, 7, 38], [18, 4, 15], [19, 5, 22], [20, 15, 164], [21, 8, 51],
[22, 6, 32], [23, 6, 32], [24, 6, 32], [25, 8, 54], [26, 6, 33], [27, 5, 24],
[28, 5, 24], [29, 7, 44], [30, 8, 56], [31, 7, 44], [32, 7, 47], [33, 6, 36],
[34, 8, 60], [35, 7, 47], [36, 6, 36], [37, 6, 36], [38, 5, 26], [39, 6, 36],
[40, 10, 94], [41, 7, 49], [42, 6, 37], [43, 6, 37], [44, 5, 27], [45, 6,
37], [46, 6, 37], [47, 5, 28], [48, 7, 51], [49, 6, 39], [50, 11, 117], [51,
6, 39], [52, 6, 39], [53, 6, 39], [54, 4, 19], [55, 5, 28], [56, 7, 52], [57,
4, 20], [58, 6, 40], [59, 4, 20], [60, 12, 145], [61, 5, 29], [62, 6, 40],
[63, 7, 53], [64, 7, 54], [65, 8, 69], [66, 6, 41], [67, 4, 20], [68, 9, 86],
[69, 3, 12], [70, 7, 55], [71, 4, 20], [72, 6, 42], [73, 6, 42], [74, 7, 56],
[75, 6, 42], [76, 8, 72], [77, 5, 30], [78, 6, 42], [79, 4, 20], [80, 5, 30],
[81, 6, 42], [82, 5, 30], [83, 5, 30], [84, 4, 20], [85, 6, 42], [86, 5, 30],
[87, 5, 30], [88, 6, 42], [89, 7, 56], [90, 6, 42], [91, 5, 30], [92, 5, 30],
[93, 4, 20], [94, 6, 42], [95, 4, 20], [96, 7, 56], [97, 4, 20], [98, 6, 42],
[99, 7, 56]. |
||
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Pannumérique 1-9 Apparition
de tous les chiffres de 1 à 9 sans présence du "0" Recherche
pas très pertinente car, souvent et c'est la cas pour 2, le "0" se
présente avant d'obtenir tous les chiffres. |
[[3, 8, 20],
[14, 5, 20], [17, 6, 29], [23, 4, 16], [24, 5, 23], [26, 5, 24], [27, 4, 16],
[58, 5, 29], [61, 4, 20], [66, 4, 20], [68, 5, 30], [72, 5, 30], [76, 4, 20],
[83, 4, 20], [88, 4, 20], [91, 4, 20], [96, 4, 20]] |
||
Apparition des chiffres dans les puissances de
2
|
Voir Puissances de
2 (chiffres) / Brève
652
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Quelle
est la plus petite puissance d'un nombre qui offre tous les chiffres ? Avec le nombre 2, la plus petite puissance avec
au moins les chiffres de 1 à 9 est 251 avec 16 chiffres. C'est 268 pour disposer de tous les
chiffres de 0 à 9 avec 21 chiffres. On sait démontrer que pour tout nombre n (sauf 10k), il existe une puissance pannumérique. Aucun
chiffre n'échappe. |
Pannumérique 1-9 (sans tenir compte
de la présence d'un zéro) 2,
51, 2251799813685248, 16 3,
39, 4052555153018976267, 19 4,
34, 295147905179352825856, 21 5,
18, 3814697265625, 13 Pannumérique 0-9 2,
68, 295147905179352825856, 21 3,
39, 4052555153018976267, 19 4,
34, 295147905179352825856, 21 5,
19, 19073486328125, 14 Suite
pour
nombres de 2 à 100 |
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Autre
type de recherche pannumérique: quelles sont les puissances successives qui
font apparaitre les chiffres les uns après les autres ? La première ligne indique que 24 = 16 est la première
puissance pour avec présence du"1". Le "2" arrive avec la
puissance 7. Etc. |
Exemple avec le nombre 2
Suite
pour
nombres de 2 à 20 |
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Puissances pannumériques partielles
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Quelles sont les puissances dont les chiffres
sont tous différents et présents une seule fois ? La plus petite à plus d'un chiffre est 25 = 32. Il y en a 162. La liste continue avec 10 128² = 102 576 384
jusqu'à 99 066² = 9 814 072 356 en
passant par 32 043² = 1 026 753 849, nombre à partir duquel tous les suivants
sont pannumériques. |
2, 2, 4 2, 3, 8 2, 5, 32 3, 2, 9 3, 5, 243 18, 2, 324 24, 2, 576 66, 2, 4356 74, 2, 5476 152,
2, 23104 179,
2, 32041 203,
3, 8365427 3678,
2, 13527684 3698,
2, 13675204 4175,
2, 17430625 4616,
2, 21307456 5904,
2, 34857216 5968,
2, 35617024 6596,
2, 43507216 7532,
2, 56731024 8082,
2, 65318724 8559,
2, 73256481 9024,
2, 81432576 |
10128,
2, 102576384 10278,
2, 105637284 … La suite est pannumérique 32043,
2, 1026753849 32286,
2, 1042385796 33144,
2, 1098524736 35172,
2, 1237069584 35337,
2, 1248703569 35757,
2, 1278563049 35853,
2, 1285437609 37176,
2, 1382054976 37905,
2, 1436789025 … 94695,
2, 8967143025 95154,
2, 9054283716 96702,
2, 9351276804 97779,
2, 9560732841 98055,
2, 9614783025 98802,
2, 9761835204 99066,
2, 9814072356 |
Voir Nombres
pannumériques carrés
Merci à Fabien Brissonneau pour sa
contribution et sa programmation Python
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Suite |
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