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Débutant DicoMot DicoNombre	PREUVE Preuve par neuf

Anglais: Casting out nines

Je me souviens que tous les nombres dont les chiffres donnent un total de neuf sont divisibles par neuf. Parfois je passais des après-midi à le vérifier... Georges Perec

Un chef-d'œuvre satisfait toutes les Muses: c'est la preuve par neuf.

Jean Cocteau

Voir Pensées & humour

Magie!

Si on soustrait ses chiffres à un nombre, le résultat est toujours divisible par 9.

Si on soustrait un nombre et une de ses permutations de chiffres, la différence est divisible par 9.

Ex: 987 – 789 = 198

Voir Explications / Magie – Index

Définition

PREUVE

Opération par laquelle on contrôle l'exactitude d'un calcul.

Procédé pratique permettant de contrôler rapidement l'exactitude d'une opération.

Preuve par 9

La preuve par 9 est la méthode

la plus connue,

car la plus pratique.

Elle est basée sur la propriété de congruence des nombres modulo 9.

Un entier est congru modulo 9

à la somme de ses chiffres

Ce qui veut dire:

Un nombre divisé par 9 donne le même reste
que la somme de ses chiffres divisée par 9.

Nombre 12 345	La somme de ses chiffres 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Division par 9 12345 / 9 donne 6	Division par 9 15 / 9 donne 6
Le nombre 12 345 donne 6 comme reste de sa division par 9.	La somme de ses chiffres 15 donne 6 comme reste de sa division par 9.

Un bon don des mathématiques!

Si une opération est juste,

son image avec les restes de la division par 9

est également juste.

Une addition, par exemple:

Opération: 12 + 34 = 46

Images: 3 + 7 = 10

Exemple pratique

Multiplication

Nombres		Restes
2 4		6
x 1 2		x 3
4 8
2 4
2 8 8	=> 9	18
	=> 0	=> 0

Astuce!

Pour vérifier l'égalité, souvenez vous que les 9 disparaissent, mais vous pouvez en ajouter, notamment pour éviter les nombres négatifs.

Ex: 4045 – 2095 = 1950

4 – 7 = –3 à comparer à 6 obtenu avec 1950.

En ajoutant 9, l'égalité est bien là: –3 + 9 = 6.

Attention

Une preuve non réussie est témoin d'une erreur de calcul. C'est une certitude. Par contre …

Une preuve réussie n'est pas certitude de justesse, mais seulement bonne présomption d'exactitude.

La preuve par neuf est basée sur la somme des chiffres. Or, cette somme est la même quel que soit l'ordre des chiffres.

Avec la multiplication ci- dessus, en inversant les chiffres: 42 x 12 = 288. Vous aurez un test positif (6 x 3 = 18 0), alors que l'opération est fausse: 42 x 12 = 504.

Une inversion (ou des inversions) de chiffres conduisent à un test positif de la preuve par neuf.

Suite avec exemples

Anglais	Proof Casting out nines. Because 9 is one less than the base of our number system, it is easy to see if a number is divisible by 9 by adding the digits and repeating on the result if necessary. When you were learning your multiplication tables you might have noticed that: if you were dividing a 2-digit number by 9, you could check to see if the two digits add up to 9, and if they do, the answer is the first digit plus 1, or 10 minus the last digit. Ex: 72 / 9 = 7 + 1 = 8 or 72 / 9 = 10 – 2 = 8
Suite sur la preuve par 9	Nombre 9 Cycle de Kaprekar et preuve par 9 Différence de nombres permutés Divisibilité par 9 Division par 9 – Calcul mental, méthode pratique Magie du nombre 9 – Narratif Multiplication par 9 Preuve par 9 Débutants Calculs pratiques FAQ – La preuve par neuf Racine carrée Magie avec la preuve par neuf Théorie – Pourquoi ça marche? Tables de multiplication vues autrement Les nombres parfaits donnent 1 Les factorielles et la preuve par 9 Racine numérique additive Racine numérique multiplicative Preuve par 11 Divisibilité L'arithmétique de l'horloger Modulo & congruence Nombres croissants x 9 => preuve par neuf = 9 Curiosité avec 9 Nombre et son triple avec les mêmes chiffres Somme des chiffres des nombres premiers Somme des chiffres identiques divisible par 9 Somme-Produit des chiffres – Index
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Vocabula/GlosP/Preuve.htm

Cas de preuve par neuf vraie pour des opérations fausses

Énoncé	Une inversion de chiffres dans une opération (ou plusieurs, d'ailleurs) passe à travers la preuve par neuf sans détecter l'erreur. Si la preuve par neuf est fausse, c'est sûr il y a une erreur quelque part. Si elle est juste, il est sûr qu'il n'y pas une erreur minime courante comme l'oubli d'une retenue. Par contre, il peut y avoir une erreur du type inversion de chiffres, c'est vrai. Ou même des erreurs qui se compensent pour aboutir à une somme de 9 (comme l'exemple à droite sur le tableau ci-dessous).
Tableau d'exemples	Ces exemples simples sont volontairement outranciers. Mais, ce serait moins visible sur de grandes séries d'opérations.
Conclusion	Si l'écart entre le résultat vrai et le résultat faux est un multiple de 9, il s'agit: très probablement d'une erreur d'inversion de chiffres ou, beaucoup plus rarement, de plusieurs erreurs qui se cumulent pour former un multiple de 9. Merci pour cette contribution à Candice M.

Le saviez-vous?

Remarques simples pour bien comprendre la preuve par neuf

Vous êtes très nombreux à m'écrire pour vous étonner de ces propriétés.

Tous les chiffres

Le nombre pannumérique 123456789 et toutes ses permutations sont divisibles par 9. En effet la somme de leurs chiffres est multiple de 9.

Il en va de même pour toute opération (addition, soustraction et multiplication) comportant tous ces chiffres une fois ou k fois chacun. Comme 12 + 34 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 81 >>> (Prudence avec la division !)

Propriétés	Exemple	Preuve par neuf	Formulation
Soit un nombre N. On multiplie par 9. La somme des chiffres est un multiple de 9 soit 9 ou 0 en preuve par neuf	123 x 9 = 1107 1234 x 9 = 11106 4321 x 9 = 38889	=> 1 +1 +0 + 7 = 9 => 1 + 1 + 1 + 0 + 6 = 9 => 3 + 8 = 11 => 2; 2 + 8 = 10 => 1; 1 + 8 = 9	P9 (Ch 9N) = 0
Soit un nombre N. On multiplie par 9. On lui ajoute la somme de ses chiffres Ce nouveau nombre est divisible par 9	456 x 9 =4104 4104 + 4 + 1 + 0 + 4 = 4113	=> 4 + 1 + 1+ 3 = 9	P9 (9N + Ch 9N) = 0
Soit un nombre N. On lui soustrait la somme de ses chiffres Ce nouveau nombre est divisible par 9	789 – (7 + 8 + 9) = 765	=> 7 + 6 = 13 => 4 ; 4 + 5 = 9	P9 (N - Ch N) = 0
Soit un nombre N. On lui soustrait son retourné Ce nouveau nombre est divisible par 9	987 – 789 = 198	=> 1 + 8 = 9	P9 (N - R) = 0

Prenez un nombre de k chiffres, son prédécesseur et son successeur. Concaténez ces nombres et même les chiffres, comme vous voulez. Le nombre formé est divisible par 3	978, 979 et 980 978 979 980 980 979 978 999 977 880	=> 7 + 7 + 8 + 8 = 30 => 3
Idem avec comme nombre de départ (nombre central) un multiple de 3.	977, 978, 979 977 978 979 999 977 778	=> 7 + 7 + 7 + 7 + 8 = 36 => 3+ 6 = 9

Voir Somme des chiffres des puissances

Magie

Le tour

Prendre un nombre quelconque.

- Multiplier par 9.

- Retirer 5.

- Ajouter les chiffres.

- Recommencer pour obtenir un seul chiffre.

Associer ce chiffre à la lettre correspondante dans l'alphabet.

- Trouvez un pays d'Europe commençant par cette lettre.

Sans que tu me dises quoi que ce soit,
je suis capable de donner un fruit dont le nom
commence par la dernière lettre du pays.

Voir Solution

Voir Autres magie avec 9: multiplication pyramide / Tour simple /

Je devine le chiffre / Transmission de pensée

Nombres croissants et racine numérique

La racine numérique d'un nombre croissant multiplié par 9 est égale précisément à 9.

Explication

9 x abcde avec a < b < c < d < e

Cela revient à multiplier par 10 – 1:

a	b	c	d	e	0
–	a	b	c	d	e

Qui s'écrit du fait que les nombres sont croissants:
a + (b-a) + (c–b) + (d-c) + (e-d-1) + (10-e) = 9

Cette simplification des termes deux à deux se nomment simplification par télescopage.

12 x 9 = 108 => RN = 9

123 x 9 = 1 107 => RN = 9

1 234 x 9 = 11 103 => RN = 9

12 345 x 9 = 111 105 => RN = 9

45 x 9 = 405 => RN = 9

456 x 9 = 4 104 => RN = 9

4 567 x 9 = 41 103 => RN = 9

13 579 x 9 = 122 211 => RN = 9

2 468 x 9 = 22 212 => RN = 9

1 234 56 789 x 9

= 1 111 111 101 => RN = 9

Voir Brève 602

Magie – Solution

Le tour	Exemple	Explications
Prendre un nombre quelconque. Multiplier par 9. Retirer 5. Ajouter les chiffres. Recommencer pour obtenir un seul chiffre.	123 456 1 111 104 1 111 099 1+1+1+1+9+9 = 22 2 + 2 + 4	Preuve par neuf donne 9
Associer ce chiffre à la lettre correspondante dans l'alphabet. Trouvez un pays d'Europe commençant par cette lettre. Sans que tu me dises quoi que ce soit Je suis capable de donner un fruit dont le nom commence par la dernière lettre du pays.	4 => D Danemark K = kiwi	Seul pays avec D Seul fruit avec K
Vous aurez retenu la propriété de la preuve par 9. Le nombre multiplié par 9 donnera En retranchant 5, nous aurons toujours Tour faisable qu'une seule fois !	9 5 4

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Donné par Bernard Werber - Nous les Dieux – 2004

Voir Autres tours de magie – Index