NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 18/10/2020 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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NOMBRES CONGRUENTS

Nombres entiers mesurant l'aire de triangles rectangles dont les côtés ont des mesures entières ou rationnelles.

Oui! Un petit air de famille avec les triplets de Pythagore …

La terminologie n'est pas très appropriée. Elle remonte à Fibonacci qui parlait de congruence au sens latin de congruere: concorder, aller ensemble. >>>

Approche

Deux triangles en exemple Le célèbre triangle 3456 est un exemple concret engendrant un nombre congruent. Ses côtés sont des nombres rationnels (même, des entiers: 3, 4 et 5) et son aire (6) est également un nombre entier. Le nombre 6 issu de telles propriétés est dit nombre congruent. Voir Triangle isiaque Voici un exemple avec des nombres fractionnaires: 3/2, 20/3 et 41/6 qui donne le nombre congruent le plus petit: n = 5.

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Définition d'un nombre congruent

Définition classique Un nombre congruent n est un nombre entier qui est l'aire d'un triangle rectangle dont les côtés sont des nombres rationnels (des fractions). Si a, b et c sont les mesures des côtés du triangle rectangle, avec c pour l'hypoténuse, alors un nombre congruent n est tel que le système suivant: a des solutions avec n entier et a, b et c des rationnels. Définition équivalente Les nombres sont les entiers naturels n tels qu'il existe trois entiers, ou fractions d'entiers, u, v, w dont les carrés diffèrent de n : Les trois carrés forment une progression arithmétique, comme par exemple 1², 5² et 7² avec un écart de 24, ou 1², 29² et 41² avec un écart de 840, ou encore 1², 169² et 239² avec un écart de 28 560. En soustrayant les deux identités, on obtient une nouvelle relation: u² + n – v² – n = v² – w² u² + w² = 2 v² Ce qui veut dire qua la recherche des nombres congruents consiste aussi à trouver les sommes de deux carrés qui égalent le double d'un carré. Suite >>> Autres définitions Celle citée par Wolfram avec quatre paramètres >>> Celle associant une courbe elliptique >>>

Voir Propriétés des nombres congruents

Les premiers nombres congruents

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116, 117, 118, 119, 120, 124, 125, 126, …

Commentaires

Un nombre congruent multiplié par un carré engendre un nouveau nombre congruent. Même chose si on divise par un carré. Le nombre 20 est congruent, alors 20/2² = 5 est aussi un nombre congruent. Un nombre congruent sans facteur carré est dit primitif. Il est d'usage de ne considérer comme nombres congruents que ceux sans facteur carré. Un triangle rectangle dont tous les côtés sont des nombres rationnels est dit rationnel. Ce n'est pas toujours le cas: le triangle a = 1 et b = 1 donne c = ; il n'est pas rationnel. L'aire d'un triangle rationnel est rationnelle (1/2 a.b), mais forcément entière. Si n est un nombre entier, aire d'un triangle rectangle rationnel, n est un nombre congruent Tous les nombres entiers ne répondent pas à une telle propriété. Le nombre 1 n'est l'aire d'aucun triangle rectangle rationnel (Fermat).

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Historique

Il y a environ 1000 ans, le mathématicien persan Al Karaji a cherché pour la première fois combien de nombres congruents pouvaient existerer. Il a fallu encore plusieurs millénaires pour que les cent premiers nombres congruents soient découverts.

En 2009, toutefois, les superordinateurs avaient découvert les 3 148 379 694 premiers nombres congrus. Certains de ces nombres sont si énormes que si leurs chiffres étaient écrits sous forme décimale, ils s’allongeraient jusqu’à la Lune.

English corner
The question of determining whether a given rational number is a congruent number is called the congruent number problem. An integer n is a congruent number if there exists a right triangle with rational sides so that the area of the triangle is n. One of the oldest unsolved problems in mathematics is to determine the congruent numbers. In number theory, one often comes across problems which arise naturally and are easy to pose, but whose solutions require very sophisticated methods. What is known as "The congruent number problem" is one such. Its statement is very simple and the problem dates back to Antiquity, but it was only recently that a breakthrough was made, thanks to current developments in the arithmetic of elliptic curves.	i.e. id est, c'est-à-dire. To come accross: tomber sur. To pose: poser (un probleme). Statement: énoncé. To date back: remonter à. Breakthrough: percée.

Suite	Nombres congruents – Valeurs
Voir	Addition - Glossaire Briques de Pythagore Congruence, modulo Nombres de Cunningham Pythagore – Biographie Triangle de Pythagore Triangle rectangle
Diconombre	Nombre 5 Nombre 6 Nombre 7
Sites	Triangles pythagoriciens - Nombres congruents - Courbes elliptiques (inclus un calculateur de nombres congruents) OEIS A003273 – Congruent numbers: positive integers n for which there exists a right triangle having area n and rational sides.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPADD/Congruen.htm