|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||
|
|||||||
|
Lucas apparaît comme l’un des auteurs français les
plus prolifiques de la fin du XIXe siècle. Une liste assez
exhaustive de ses œuvres apparaît dans la bibliographie de Duncan Harkin. On doit cependant la
compléter par le mémoire paru dans la Nouvelle Correspondance Mathématique,
par la note du bulletin de l’Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg, et
remarquer par ailleurs qu'une erreur attribue à Édouard Lucas une note aux
Comptes Rendus qui est en fait due à son homonyme Félix Lucas. Sous la signature d’Édouard Lucas, on peut
répertorier environ 180 articles et quinze livres, parmi lesquels le traité
de Théorie des nombres, 4 ouvrages de Récréations mathématiques et une
Arithmétique amusante, les deux derniers volumes des Récréations et
l'Arithmétique amusante étant publiés à titre posthume sous l’égide de la
Société Mathématique de France grâce aux efforts de H. Delannoy, C.-A. Laisant, E.Lemoine. Sans compter de nombreux mémoires et articles parus
dans des publications étrangères. En algèbre et en théorie des nombres, par contre, les traités sont rares ; dans ce paysage, l’ouvrage de Théorie des nombres d’Édouard Lucas, publié en 1891 quelques mois avant la mort de l'auteur, fait exception. cet ouvrage peut dérouter par la profusion des thèmes qui s'entrecroisent dans l'ouvrage. Alors qu'il est maintenu éloigné de l'Observatoire
de Paris, Lucas publie en 1867 une brochure intitulée Application de
l'arithmétique à la construction de l'armure des satins réguliers qui aborde
l'arithmétique et la géométrie des tissus. Les tissus (comme les satins) sont propices à
l'utilisation de l'arithmétique et que les corps des entiers modulo p (p
premier) permettent de classer les satins, en particulier les satins
carrés. La démonstration "très
simple" que donne Lucas de la loi de réciprocité
quadratique en 1890, dans le Bulletin de l'Académie impériale des
sciences de Saint-Pétersbourg. |
Source: Édouard Lucas par Anne-Marie Decaillot-Laulagnet
|
|
||
|
Énigme Chaque jour
à midi un paquebot part du port du Havre pour New York. Simultanément, un
paquebot de la même compagnie part de New York vers Le Havre. La traversée se
fait exactement en sept jours, soit dans un sens, soit dans l'autre. Je quitte Le
Havre aujourd'hui. Combien vais-je croiser de paquebots de cette compagnie? Every
day at noon in Le Havre an ocean liner sails to New York, and
(simultaneously) in New York an ocean liner sails to Le Havre. The crossing
takes seven days and seven nights in either direction. How many ocean liners will an ocean liner leaving Le
Havre today pass at sea by the time it arrives in
New York? |
Contexte Cette énigme
figure au chapitre 49 d'Initiations
mathématiques de Charles-Ange Laisant publié en 1906. Il s'agit
d'une anecdote authentique qui est arrivée à Édouard Lucas au cours d'un
congrès scientifique. À la fin du
déjeuner, Lucas pose cette énigme. Les
mathématiciens présents répondirent sept ou se turent. La réponse
est inexacte. Voyez-vous pourquoi? Indice: la compagnie de
paquebots a été créée dix ans avant ma date de départ. |
|
|
|
||
|
|
Pour n = 24, la somme est égale à 4 900
= 70² Et c'est l'unique solution. Sauf 1² = 1², trivial. |
|
|
|
||
|
|
C'est le 127e nombre de Mersenne: 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105
727 = 0, 17 1039 |
|
|
|
||
|
Exemple n = 71 m = N – 1 = 70 = 2 x 5 x 7 Condition 1 1170 Condition 2 Pour chacun des facteurs de m: m/2 = 35 et 1135 m/5 = 14 et 1134 m/7 = 10 et 1110 Conclusion n est premier |
Théorème Sil existe un nombre a tel que 1 < a < n Avec q les facteurs premiers de n – 1 Condition 1
Condition 2 Pour chacun des facteurs q
Conclusions N est premier Si a n'existe pas, le nombre est composé. |
|
Voir Primalité
et Mersenne / Les tests
de primalités
|
|
||
|
Par ce jeu,
reste tout de même à calculer le reste de la division de 2500 par 71, par
exemple (= 15) et les autres.
|
|
|
Voir Congruences
|
|
||
|
Solution La réponse 7
serait exacte si mon voyage était le voyage inaugural de la
compagnie maritime. En fait, elle officie depuis longtemps et avant mon
départ des paquebots sont déjà en route depuis New York (lignes vertes). Le graphique
montre le décompte:
Note: mon fils me fait
remarquer que le bateau part à midi en France, mais ce n'est pas la même
heure à New York. Lucas avait pris la précaution de dire:
simultanément. Et si les bateaux ne vont pas à la même vitesse.
Peu importe les vitesses intermédiaires. Lucas précise que les croisières
dans un sens comme dans l'autre durent sept jours. Mais, il peut y avoir bien d'autres paquebots sur
l'Atlantique? Lucas précise:
de la même compagnie. |
Graphe distance en fonction des jours
Ma traversée en rouge. Les paquebots au départ
de New York en vert. Les situations de croisement: billes rouges. |
|
|
|
||
|
Tissus à texture rectiligne Ils sont représentés par
des dessins quadrillés nommés armures. Les points du tissu où
le fil de chaîne passe sur le fil de trame sont des points
de liage. Représentation par un échiquier carré dont un certain nombre de
cases ombrées correspondant aux points de liage.
Questions Déterminer l'échiquier
de taille minimale (p, p) représentant le dessin du tissu considéré. Le nombre p est alors
appelé le module de
l'armure. Parmi ces dessins, les
satins réguliers sont rangés d'après le nombre minimum de fils de chaîne sur
lesquels la trame opère l'entrecroisement. Le dessin fondamental
des satins réguliers comporte p points de liage disposés sur l'échiquier de
dimension (p, p) de telle sorte que deux d'entre eux ne se trouvent pas sur
le même fil de chaîne ou de trame. |
|
|
|
Lucas |
|
|
Voir |
|
|
Site |
|
|
Cette page |
