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Lucas
apparaît comme l’un des auteurs français les plus prolifiques de la fin du
XIXe siècle. Une liste assez exhaustive de ses œuvres apparaît
dans la bibliographie de Duncan
Harkin. On doit cependant la compléter par le mémoire paru dans la Nouvelle
Correspondance Mathématique, par la note du bulletin de l’Académie des
Sciences de Saint-Pétersbourg, et remarquer par ailleurs qu'une erreur
attribue à Édouard Lucas une note aux Comptes Rendus qui est en fait due à
son homonyme Félix Lucas. Sous la
signature d’Édouard Lucas, on peut répertorier environ 180 articles et quinze
livres, parmi lesquels le traité de Théorie des nombres, 4 ouvrages de
Récréations mathématiques et une Arithmétique amusante, les deux derniers volumes
des Récréations et l'Arithmétique amusante étant publiés à titre posthume
sous l’égide de la Société Mathématique de France grâce aux efforts de H.
Delannoy, C.-A. Laisant, E.Lemoine. Sans
compter de nombreux mémoires et articles parus dans des publications
étrangères. En algèbre et en théorie des nombres, par contre, les traités sont rares ; dans ce paysage, l’ouvrage de Théorie des nombres d’Édouard Lucas, publié en 1891 quelques mois avant la mort de l'auteur, fait exception. cet ouvrage peut dérouter par la profusion des thèmes qui s'entrecroisent dans l'ouvrage. Alors
qu'il est maintenu éloigné de l'Observatoire de Paris, Lucas publie en 1867
une brochure intitulée Application de l'arithmétique à la construction de
l'armure des satins réguliers qui aborde l'arithmétique et la géométrie des
tissus. Les tissus
(comme les satins) sont propices à l'utilisation de l'arithmétique et que les
corps des entiers modulo p (p premier) permettent de classer les satins, en
particulier les satins carrés. La démonstration
"très simple" que donne Lucas de la loi de réciprocité
quadratique en 1890, dans le Bulletin de l'Académie impériale des
sciences de Saint-Pétersbourg. |
Source: Édouard Lucas par Anne-Marie Decaillot-Laulagnet
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Énigme Chaque
jour à midi un paquebot part du port du Havre pour New York. Simultanément,
un paquebot de la même compagnie part de New York vers Le Havre. La traversée
se fait exactement en sept jours, soit dans un sens, soit dans l'autre. Je quitte
Le Havre aujourd'hui. Combien vais-je croiser de paquebots de cette
compagnie? Every day at noon in Le
Havre an ocean liner sails to New York, and (simultaneously) in New York an
ocean liner sails to Le Havre. The crossing takes seven days and seven nights
in either direction. How many ocean liners will an ocean liner leaving Le
Havre today pass at sea by the time it arrives in New York? |
Contexte Cette
énigme figure au chapitre 49 d'Initiations
mathématiques de Charles-Ange Laisant publié en 1906. Il s'agit
d'une anecdote authentique qui est arrivée à Édouard Lucas au cours d'un
congrès scientifique. À la fin
du déjeuner, Lucas pose cette énigme. Les
mathématiciens présents répondirent sept
ou se turent. La
réponse est inexacte. Voyez-vous pourquoi? Indice: la compagnie de paquebots a été créée dix ans avant ma date de
départ. |
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Pour n = 24, la somme est égale à 4 900 = 70² Et c'est l'unique solution. Sauf 1² = 1²,
trivial. |
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C'est le 127e nombre de Mersenne: 170 141 183 460
469 231 731 687 303 715 884 105 727 = 0, 17 1039 |
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Exemple n
= 71 m
= N – 1 = 70 = 2 x 5 x 7 Condition 1 1170
Condition 2 Pour
chacun des facteurs de m: m/2
= 35 et 1135 m/5
= 14 et 1134 m/7
= 10 et 1110 Conclusion n
est premier |
Théorème Sil
existe un nombre a tel que 1 < a < n Avec
q les facteurs premiers de n – 1 Condition 1
Condition 2 Pour
chacun des facteurs q
Conclusions N
est premier Si
a n'existe pas, le nombre est composé. |
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Voir Primalité
et Mersenne / Les tests
de primalités
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Par ce jeu, reste
tout de même à calculer le reste de la division de 2500 par 71, par exemple
(= 15) et les autres.
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Voir Congruences
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Solution La
réponse 7 serait exacte si mon voyage était le voyage inaugural de la compagnie maritime. En fait, elle officie
depuis longtemps et avant mon départ des paquebots sont déjà en route depuis
New York (lignes vertes). Le
graphique montre le décompte:
Note: mon fils me fait remarquer que le bateau part à midi en France, mais
ce n'est pas la même heure à New York. Lucas avait pris la précaution de
dire: simultanément. Et si les
bateaux ne vont pas à la même vitesse. Peu importe les vitesses
intermédiaires. Lucas précise que les croisières dans un sens comme dans
l'autre durent sept jours. Mais, il
peut y avoir bien d'autres paquebots sur l'Atlantique? Lucas précise: de la
même compagnie. |
Graphe distance en fonction des
jours
Ma traversée en rouge. Les paquebots au départ de New York en vert. Les situations de croisement: billes rouges. |
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Tissus à texture rectiligne Ils sont représentés par des dessins quadrillés
nommés armures. Les points du tissu où le fil de chaîne passe sur
le fil de trame sont des points de liage. Représentation par un échiquier carré dont un certain nombre de
cases ombrées correspondant aux points de liage.
Questions Déterminer l'échiquier de taille minimale (p, p)
représentant le dessin du tissu considéré. Le nombre p est alors appelé le module de l'armure. Parmi ces dessins, les satins réguliers sont
rangés d'après le nombre minimum de fils de chaîne sur lesquels la trame
opère l'entrecroisement. Le dessin fondamental des satins réguliers
comporte p points de liage disposés sur l'échiquier de dimension (p, p) de
telle sorte que deux d'entre eux ne se trouvent pas sur le même fil de chaîne
ou de trame. |
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Lucas |
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Voir |
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