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Énigme Chaque
jour à midi un paquebot part du port du Havre pour New York. Simultanément,
un paquebot de la même compagnie part de New York vers Le Havre. La traversée
se fait exactement en sept jours, soit dans un sens, soit dans l'autre. Je quitte
Le Havre aujourd'hui. Combien vais-je croiser de paquebots de cette compagnie? Every day at noon in Le
Havre an ocean liner sails to New York, and (simultaneously) in New York an
ocean liner sails to Le Havre. The crossing takes seven days and seven nights
in either direction. How many ocean liners will an ocean liner leaving Le
Havre today pass at sea by the time it arrives in New York? |
Contexte Cette
énigme figure au chapitre 49 d'Initiations
mathématiques de Charles-Ange Laisant publié en
1906. Il s'agit
d'une anecdote authentique qui est arrivée à Édouard Lucas au cours d'un
congrès scientifique. À la fin
du déjeuner, Lucas pose cette énigme. Les mathématiciens
présents répondirent sept ou se turent. La
réponse est inexacte. Voyez-vous pourquoi? Indice: la compagnie de paquebots a été créée dix ans avant ma date de
départ. |
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Pour n = 24, la somme est égale à 4 900 = 70² Et c'est l'unique solution. Sauf 1² = 1², trivial. |
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C'est le 127e nombre de Mersenne: 170 141 183 460
469 231 731 687 303 715 884 105 727 = 0, 17 1039 |
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Exemple n
= 71 m
= N – 1 = 70 = 2 x 5 x 7 Condition 1 1170
Condition 2 Pour
chacun des facteurs de m: m/2
= 35 et 1135 m/5
= 14 et 1134 m/7
= 10 et 1110 Conclusion n
est premier |
Théorème Sil
existe un nombre a tel que 1 < a < n Avec
q les facteurs premiers de n – 1 Condition 1 Condition 2 Pour
chacun des facteurs q Conclusions N
est premier Si
a n'existe pas, le nombre est composé. |
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Voir Primalité
et Mersenne / Les tests
de primalités
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Par ce jeu,
reste tout de même à calculer le reste de la division de 2500 par 71, par exemple
(= 15) et les autres.
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Voir Congruences
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Solution La
réponse 7 serait exacte si mon voyage était le voyage inaugural de la compagnie maritime. En fait, elle officie
depuis longtemps et avant mon départ des paquebots sont déjà en route depuis
New York (lignes vertes). Le
graphique montre le décompte:
Note: mon fils me fait remarquer que le bateau part à midi en France, mais
ce n'est pas la même heure à New York. Lucas avait pris la précaution de dire:
simultanément. Et si les
bateaux ne vont pas à la même vitesse. Peu importe les vitesses
intermédiaires. Lucas précise que les croisières dans un sens comme dans l'autre
durent sept jours. Mais, il
peut y avoir bien d'autres paquebots sur l'Atlantique? Lucas précise: de la
même compagnie. |
Graphe distance en fonction des
jours Ma traversée en rouge. Les paquebots au départ de New York en vert. Les situations de croisement: billes rouges. |
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Lucas |
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Voir |
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