NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 10/12/2016 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	RUBRIQUE BIOGRAPHIE
Débutants Général	Édouard LUCAS		Glossaire Général
	Sommaire de cette page >>> Résumé >>> Biographie >>> Le paquebot Le Havre New York >>> Test de primalité >>> Rappel sur le calcul de congruences >>> Index Lucas

RÉSUMÉ

LUCAS Édouard	1842-1891 49 ans	Français
Mathématicien français, né à Amiens. Pasteur lui conseille l'École normale supérieure plutôt que Polytechnique. Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis (1879-1890). Affecté à l'Observatoire de Paris sous la direction d'Urbain Le Verrier, puis l'armée, et devient professeur de mathématiques à Paris. Travaux sur: Nombres de Fibonacci, nombres de Lucas. Il donne la formule pour trouver le nième terme de la série de Fibonacci. Tests sur la primalité des nombres, prolongés par Lehmer pour les nombres de Mersenne. Ouvrages La Fasioulette – 1889 – Livre pour enfants sur des combinaisons arithmétiques et géométriques très difficiles. La théorie des nombres – 1891 (un tome sur 4 prévus) Récréations mathématiques (4 tomes) – 1882 à 1894 L'arithmétique amusante – 1895 Inventeur du jeu de la tour de Hanoi. Meurt à 49 ans après une inflammation de la joue due à une blessure par un morceau de vaisselle cassée lors d'un banquet à Marseille. Un garçon lâche une pile d'assiette alors qu'il était derrière lui. Un éclat atteint sa joue; la blessure est profonde. Il regagne Paris et alité, meurt d'érésipèle. Il est enterré à Montmartre. A broken piece of porcelain came to hit the cheek of M. Lucas and caused him a deep injury from which blood flew in abundance. Forced to suspend his work, he returned to Paris. He took to his bed and soon appeared erysipelas which would take him away. Voir Anglais

Le paquebot de Lucas – From Le Havre to New York
Énigme Chaque jour à midi un paquebot part du port du Havre pour New York. Simultanément, un paquebot de la même compagnie part de New York vers Le Havre. La traversée se fait exactement en sept jours, soit dans un sens, soit dans l'autre. Je quitte Le Havre aujourd'hui. Combien vais-je croiser de paquebots de cette compagnie? Every day at noon in Le Havre an ocean liner sails to New York, and (simultaneously) in New York an ocean liner sails to Le Havre. The crossing takes seven days and seven nights in either direction. How many ocean liners will an ocean liner leaving Le Havre today pass at sea by the time it arrives in New York?	Contexte Cette énigme figure au chapitre 49 d'Initiations mathématiques de Charles-Ange Laisant publié en 1906. Il s'agit d'une anecdote authentique qui est arrivée à Édouard Lucas au cours d'un congrès scientifique. À la fin du déjeuner, Lucas pose cette énigme. Les mathématiciens présents répondirent sept ou se turent. La réponse est inexacte. Voyez-vous pourquoi? Indice: la compagnie de paquebots a été créée dix ans avant ma date de départ.

Solution

Somme des carrés
Lucas conjecture que la seule solution de l'équation diophantienne indiquée est donnée pour n = 40. La preuve sera apportée en 1818 avec une démonstration impliquant les fonctions hyper-elliptiques. Par contre on sait que la somme des cubes des entiers successifs est toujours un carré.	Pour n = 24, la somme est égale à 4 900 = 70² Et c'est l'unique solution. Sauf 1² = 1², trivial.

Puissance 2 moins 1
Il s'acharne durant 19 ans et finalement prouve que 2^127 – 1 est premier. Plus grand premier durant trois quarts de siècle et il reste encore le plus grand premier prouvé à la main (sans calculateur).	C'est le 127^e nombre de Mersenne: 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 = 0, 17 10^39

Test de primalité de Lucas-Lehmer
Exemple n = 71 m = N – 1 = 70 = 2 x 5 x 7 Condition 1 11^70 1 mod 71 Condition 2 Pour chacun des facteurs de m: m/2 = 35 et 11^35 70 1 mod 71 m/5 = 14 et 11^34 54 1 mod 71 m/7 = 10 et 11^10 32 1 mod 71 Conclusion n est premier	Théorème Sil existe un nombre a tel que 1 < a < n Avec q les facteurs premiers de n – 1 Condition 1 Condition 2 Pour chacun des facteurs q Conclusions N est premier Si a n'existe pas, le nombre est composé.

Voir Primalité et Mersenne / Les tests de primalités

Rappel sur le calcul des congruences (ici mod 71)
Le calcul exploite la propriété des puissances: a^p^+q= a^p x a^q Par ce jeu, reste tout de même à calculer le reste de la division de 2500 par 71, par exemple (= 15) et les autres. En pratique, on utilisera une calculette, comme celle de votre ordinateur qui possède la fonction Mod.

Voir Congruences

Le paquebot de Lucas – Solution
Solution La réponse 7 serait exacte si mon voyage était le voyage inaugural de la compagnie maritime. En fait, elle officie depuis longtemps et avant mon départ des paquebots sont déjà en route depuis New York (lignes vertes). Le graphique montre le décompte: 13 croisements (rouge), 1 rencontre au départ, et 1 rencontre à l'arrivée. Note: mon fils me fait remarquer que le bateau part à midi en France, mais ce n'est pas la même heure à New York. Lucas avait pris la précaution de dire: simultanément. Et si les bateaux ne vont pas à la même vitesse. Peu importe les vitesses intermédiaires. Lucas précise que les croisières dans un sens comme dans l'autre durent sept jours. Mais, il peut y avoir bien d'autres paquebots sur l'Atlantique? Lucas précise: de la même compagnie.	Graphe distance en fonction des jours Ma traversée en rouge. Les paquebots au départ de New York en vert. Les situations de croisement: billes rouges.

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Index Lucas	Baguenaudier La promenade des demoiselles Nombre parfaits Nombres et suite de Lucas Tour de Hanoi Triangle bi magique de Lucas
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Site	Des récréations pour enseigner les mathématiques avec Lucas, Fourrey, Laisant – Évelyne Barbin et René Guitart
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