NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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ALGÈBRE

 

Débutants

Structure

Structures algébriques

 

Glossaire

Ensemble

 

 

INDEX

 

Structures algébriques

Débutant

Loi de composition

Table de Cayley

Relation binaire

Groupe cyclique

Ensemble quotient

 

Sommaire de cette page

>>> Table de Cayley

>>> Commutativité

>>> Carré latin

>>> Z4

 

 

 

 

Tables de Cayley

 

Table de "multiplication" utilisées pour définir une loi de composition interne sur un ensemble fini.

 

 

Table de Cayley (ou table de Pythagore)

 

*    Table qui ressemble à une table d'additions ou une table de multiplications

*    Elle donne tous les résultats de la loi de composition interne dans un groupe fini.

*    Les propriétés d'un groupe se déduisent immédiatement à la lecture d'une telle table.

*    Cayley (1821-1895) en fait usage en 1854.

 

*    La table doit être lue avec le premier terme pris en ligne et le second en colonne.

 

Par exemple: sur la deuxième ligne, celle du b, on trouve b suivi de la lettre de la colonne: b*a, b*b et b*c.

a² étant une notation de a*a; idem pour b et c.

Voir Exemple des quarts de tour / Pythagore

 

Commutativité

 

*    Si la loi est commutative alors: a*b = b*a

et, la table est symétrique par rapport à la diagonale descendante.

L'ordre de lecture ligne ou colonne n'importe pas.

 

Note: dans la mesure où trois éléments sont impliqués, la table de Cayley ne renseigne pas sur la commutativité de la loi.

 

 

 

Carré latin

 

*    Les éléments de la table sont uniques sur chaque ligne et sur chaque colonne.

*    La table de Cayley comporte toutes les permutations des éléments du groupe.

 

Si ab = ac c'est que b = c

Ce qui supposerait deux éléments identiques.

Voir Carrés latins

 

Entiers modulo 4 – Z4

Table de Cayley pour  , le groupe des entiers modulo 4 muni de l'opération addition.

 

Note: modulo 4 veut dire que l'on s'intéresse uniquement aux restes de la division par 4.

 

Symétries S3

Table de Cayley pour le groupe des permutations d'ordre 3.

Voir Explications

Voir Morphisme avec S3

 

 

Suite

*         Relation binaire

*           Morphisme et son observation

*           Table de Pythagore et polygones

Voir

*         Logique de Boole

Sites

*           Cayley table – Wikipedia – Détails sur la table de Cayley

*         Symetry Group S4 – Exemples de grandes tables !

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Outils/Outils/Structur/Cayley.htm