Triangle des modulos

Édition du: 10/04/2022

INDEX Théorie des nombres Types de nombres	Types de Nombres – MODULO
	Introduction	Théorie		Propriétés	Formulaire
	Applications	Calculs		Carrés	Cubes
	Jeux	Sun Zi		Mod 9, 10, 11	Carrés et Cubes
	Parité	7 ^ 7 ^ 7		Log modulaire	11¹⁰ = 32 mod 71
	Classes de congruence		Cas de 2^33 et 2^99		Magie
	N = 1 mod k (k = 2, 3,…)		Triangle des modulos

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Triangles des modulos

Signature d'un nombre par ses modulos

Une manière de voir les nombres à travers leurs modulos. Une façon de voir qui distingue les nombres composés des nombres premiers.

Le triangle des modulos donne les valeurs des modulos alors que la matrice se limite à un indicateur binaire de congruence.

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Triangle pour les nombres de 2 à 12

>>> Propriétés

>>> TABLE pour les nombres de 2 à 100

>>> Matrice de Redheffer

Débutants

Opérations

Glossaire

Nombres

Voir Triangle de Pascal et autres

Approche

haut

Cas d'un nombre n

Prenons un nombre n = 10

et tous les nombres premiers qui lui sont inférieurs: 2, 3, 5 et 7.

On calcule n modulo ces premiers et on en fait une liste.

Calcul des modulos

10 mod 2 = 0

10 mod 3 = 1

10 mod 5 = 0

10 mod 7 = 3

Soit la liste

10 => [0, 1, 0, 3]

Cas d'un nombre n

Le calcul pour 11 donne la liste indiquée.

Liste pour le nombre suivant

11 => [1, 2, 1, 4]

Logique de passage de n a n + 1

On passe logiquement au suivant en ajoutant 1.

P	2	3	5	7	11
10	0	1	0	3	/
11	+1	+1	+1	+1	/
11	1	2	1	4	/

Cas particuliers

Pour 12, un nouveau nombre premier est à prendre en compte.

Par ailleurs, les sommes sont à pendre modulo le nombre premier en tête de colonne.

Une règle ?

La signature modulo de n + 1 est aussi celle de n + 1 modulo le nombre premier de son rang.
S(n+1, p) = (R(n, p) + 1) mod p

P	2	3	5	7	11
11	1	2	1	4	/
12	+1	+1	+1	+1	/
	2	3	2	5	/
	0	0	2	5	1

Merci à Rémy Aumeunier auquel j'ai emprunté ce nom de signature

Triangle pour les nombres de 2 à 12

haut

Composés ou premiers

Un nombre premier est premier avec tous les nombres premiers qui le précèdent. Sa signature est différente de 0

En revanche, un nombre composé présente toujours au moins un zéro dans sa signature.

Propriétés

haut

Signature unique

La signature de chaque nombre est unique (Les lignes sont toutes différentes).

Relation avec pi(n)

La fonction pi(n) exprime la quantité de nombres premiers inférieurs à n.

C'est aussi la quantité de nombre non-nuls dans la signature de n

P	2	3	5	7	11
12	0	0	2	5	1

La signature de 12 est (2, 5, 1) soit trois nombres.

C'est aussi la quantité de nombres premiers qui sont premiers avec 12. Seuls (2, 5 et 1) le sont.

TABLE pour les nombres de 2 à 100		haut
n, 1 si premier, pi(n), [signature] 2, 1, 1, [] 3, 1, 2, [1] 4, 0, 2, [0, 1] 5, 1, 3, [1, 2] 6, 0, 3, [0, 0, 1] 7, 1, 4, [1, 1, 2] 8, 0, 4, [0, 2, 3, 1] 9, 0, 4, [1, 0, 4, 2] 10, 0, 4, [0, 1, 0, 3] 11, 1, 5, [1, 2, 1, 4] 12, 0, 5, [0, 0, 2, 5, 1] 13, 1, 6, [1, 1, 3, 6, 2] 14, 0, 6, [0, 2, 4, 0, 3, 1] 15, 0, 6, [1, 0, 0, 1, 4, 2] 16, 0, 6, [0, 1, 1, 2, 5, 3] 17, 1, 7, [1, 2, 2, 3, 6, 4] 18, 0, 7, [0, 0, 3, 4, 7, 5, 1] 19, 1, 8, [1, 1, 4, 5, 8, 6, 2] 20, 0, 8, [0, 2, 0, 6, 9, 7, 3, 1] 21, 0, 8, [1, 0, 1, 0, 10, 8, 4, 2] 22, 0, 8, [0, 1, 2, 1, 0, 9, 5, 3] 23, 1, 9, [1, 2, 3, 2, 1, 10, 6, 4] 24, 0, 9, [0, 0, 4, 3, 2, 11, 7, 5, 1] 25, 0, 9, [1, 1, 0, 4, 3, 12, 8, 6, 2]	26, 0, 9, [0, 2, 1, 5, 4, 0, 9, 7, 3] 27, 0, 9, [1, 0, 2, 6, 5, 1, 10, 8, 4] 28, 0, 9, [0, 1, 3, 0, 6, 2, 11, 9, 5] 29, 1, 10, [1, 2, 4, 1, 7, 3, 12, 10, 6] 30, 0, 10, [0, 0, 0, 2, 8, 4, 13, 11, 7, 1] 31, 1, 11, [1, 1, 1, 3, 9, 5, 14, 12, 8, 2] 32, 0, 11, [0, 2, 2, 4, 10, 6, 15, 13, 9, 3, 1] 33, 0, 11, [1, 0, 3, 5, 0, 7, 16, 14, 10, 4, 2] 34, 0, 11, [0, 1, 4, 6, 1, 8, 0, 15, 11, 5, 3] 35, 0, 11, [1, 2, 0, 0, 2, 9, 1, 16, 12, 6, 4] 36, 0, 11, [0, 0, 1, 1, 3, 10, 2, 17, 13, 7, 5] 37, 1, 12, [1, 1, 2, 2, 4, 11, 3, 18, 14, 8, 6] 38, 0, 12, [0, 2, 3, 3, 5, 12, 4, 0, 15, 9, 7, 1] 39, 0, 12, [1, 0, 4, 4, 6, 0, 5, 1, 16, 10, 8, 2] 40, 0, 12, [0, 1, 0, 5, 7, 1, 6, 2, 17, 11, 9, 3] 41, 1, 13, [1, 2, 1, 6, 8, 2, 7, 3, 18, 12, 10, 4] 42, 0, 13, [0, 0, 2, 0, 9, 3, 8, 4, 19, 13, 11, 5, 1] 43, 1, 14, [1, 1, 3, 1, 10, 4, 9, 5, 20, 14, 12, 6, 2] 44, 0, 14, [0, 2, 4, 2, 0, 5, 10, 6, 21, 15, 13, 7, 3, 1] 45, 0, 14, [1, 0, 0, 3, 1, 6, 11, 7, 22, 16, 14, 8, 4, 2] 46, 0, 14, [0, 1, 1, 4, 2, 7, 12, 8, 0, 17, 15, 9, 5, 3] 47, 1, 15, [1, 2, 2, 5, 3, 8, 13, 9, 1, 18, 16, 10, 6, 4] 48, 0, 15, [0, 0, 3, 6, 4, 9, 14, 10, 2, 19, 17, 11, 7, 5, 1] 49, 0, 15, [1, 1, 4, 0, 5, 10, 15, 11, 3, 20, 18, 12, 8, 6, 2]
50, 0, 15, [0, 2, 0, 1, 6, 11, 16, 12, 4, 21, 19, 13, 9, 7, 3] 51, 0, 15, [1, 0, 1, 2, 7, 12, 0, 13, 5, 22, 20, 14, 10, 8, 4] 52, 0, 15, [0, 1, 2, 3, 8, 0, 1, 14, 6, 23, 21, 15, 11, 9, 5] 53, 1, 16, [1, 2, 3, 4, 9, 1, 2, 15, 7, 24, 22, 16, 12, 10, 6] 54, 0, 16, [0, 0, 4, 5, 10, 2, 3, 16, 8, 25, 23, 17, 13, 11, 7, 1] 55, 0, 16, [1, 1, 0, 6, 0, 3, 4, 17, 9, 26, 24, 18, 14, 12, 8, 2] 56, 0, 16, [0, 2, 1, 0, 1, 4, 5, 18, 10, 27, 25, 19, 15, 13, 9, 3] 57, 0, 16, [1, 0, 2, 1, 2, 5, 6, 0, 11, 28, 26, 20, 16, 14, 10, 4] 58, 0, 16, [0, 1, 3, 2, 3, 6, 7, 1, 12, 0, 27, 21, 17, 15, 11, 5] 59, 1, 17, [1, 2, 4, 3, 4, 7, 8, 2, 13, 1, 28, 22, 18, 16, 12, 6] 60, 0, 17, [0, 0, 0, 4, 5, 8, 9, 3, 14, 2, 29, 23, 19, 17, 13, 7, 1] 61, 1, 18, [1, 1, 1, 5, 6, 9, 10, 4, 15, 3, 30, 24, 20, 18, 14, 8, 2] 62, 0, 18, [0, 2, 2, 6, 7, 10, 11, 5, 16, 4, 0, 25, 21, 19, 15, 9, 3, 1] 63, 0, 18, [1, 0, 3, 0, 8, 11, 12, 6, 17, 5, 1, 26, 22, 20, 16, 10, 4, 2] 64, 0, 18, [0, 1, 4, 1, 9, 12, 13, 7, 18, 6, 2, 27, 23, 21, 17, 11, 5, 3] 65, 0, 18, [1, 2, 0, 2, 10, 0, 14, 8, 19, 7, 3, 28, 24, 22, 18, 12, 6, 4] 66, 0, 18, [0, 0, 1, 3, 0, 1, 15, 9, 20, 8, 4, 29, 25, 23, 19, 13, 7, 5] 67, 1, 19, [1, 1, 2, 4, 1, 2, 16, 10, 21, 9, 5, 30, 26, 24, 20, 14, 8, 6] 68, 0, 19, [0, 2, 3, 5, 2, 3, 0, 11, 22, 10, 6, 31, 27, 25, 21, 15, 9, 7, 1] 69, 0, 19, [1, 0, 4, 6, 3, 4, 1, 12, 0, 11, 7, 32, 28, 26, 22, 16, 10, 8, 2] 70, 0, 19, [0, 1, 0, 0, 4, 5, 2, 13, 1, 12, 8, 33, 29, 27, 23, 17, 11, 9, 3] 71, 1, 20, [1, 2, 1, 1, 5, 6, 3, 14, 2, 13, 9, 34, 30, 28, 24, 18, 12, 10, 4] 72, 0, 20, [0, 0, 2, 2, 6, 7, 4, 15, 3, 14, 10, 35, 31, 29, 25, 19, 13, 11, 5, 1] 73, 1, 21, [1, 1, 3, 3, 7, 8, 5, 16, 4, 15, 11, 36, 32, 30, 26, 20, 14, 12, 6, 2] 74, 0, 21, [0, 2, 4, 4, 8, 9, 6, 17, 5, 16, 12, 0, 33, 31, 27, 21, 15, 13, 7, 3, 1] 75, 0, 21, [1, 0, 0, 5, 9, 10, 7, 18, 6, 17, 13, 1, 34, 32, 28, 22, 16, 14, 8, 4, 2] 76, 0, 21, [0, 1, 1, 6, 10, 11, 8, 0, 7, 18, 14, 2, 35, 33, 29, 23, 17, 15, 9, 5, 3] 77, 0, 21, [1, 2, 2, 0, 0, 12, 9, 1, 8, 19, 15, 3, 36, 34, 30, 24, 18, 16, 10, 6, 4] 78, 0, 21, [0, 0, 3, 1, 1, 0, 10, 2, 9, 20, 16, 4, 37, 35, 31, 25, 19, 17, 11, 7, 5] 79, 1, 22, [1, 1, 4, 2, 2, 1, 11, 3, 10, 21, 17, 5, 38, 36, 32, 26, 20, 18, 12, 8, 6] 80, 0, 22, [0, 2, 0, 3, 3, 2, 12, 4, 11, 22, 18, 6, 39, 37, 33, 27, 21, 19, 13, 9, 7, 1] 81, 0, 22, [1, 0, 1, 4, 4, 3, 13, 5, 12, 23, 19, 7, 40, 38, 34, 28, 22, 20, 14, 10, 8, 2] 82, 0, 22, [0, 1, 2, 5, 5, 4, 14, 6, 13, 24, 20, 8, 0, 39, 35, 29, 23, 21, 15, 11, 9, 3] 83, 1, 23, [1, 2, 3, 6, 6, 5, 15, 7, 14, 25, 21, 9, 1, 40, 36, 30, 24, 22, 16, 12, 10, 4] 84, 0, 23, [0, 0, 4, 0, 7, 6, 16, 8, 15, 26, 22, 10, 2, 41, 37, 31, 25, 23, 17, 13, 11, 5, 1] 85, 0, 23, [1, 1, 0, 1, 8, 7, 0, 9, 16, 27, 23, 11, 3, 42, 38, 32, 26, 24, 18, 14, 12, 6, 2] 86, 0, 23, [0, 2, 1, 2, 9, 8, 1, 10, 17, 28, 24, 12, 4, 0, 39, 33, 27, 25, 19, 15, 13, 7, 3] 87, 0, 23, [1, 0, 2, 3, 10, 9, 2, 11, 18, 0, 25, 13, 5, 1, 40, 34, 28, 26, 20, 16, 14, 8, 4] 88, 0, 23, [0, 1, 3, 4, 0, 10, 3, 12, 19, 1, 26, 14, 6, 2, 41, 35, 29, 27, 21, 17, 15, 9, 5] 89, 1, 24, [1, 2, 4, 5, 1, 11, 4, 13, 20, 2, 27, 15, 7, 3, 42, 36, 30, 28, 22, 18, 16, 10, 6] 90, 0, 24, [0, 0, 0, 6, 2, 12, 5, 14, 21, 3, 28, 16, 8, 4, 43, 37, 31, 29, 23, 19, 17, 11, 7, 1] 91, 0, 24, [1, 1, 1, 0, 3, 0, 6, 15, 22, 4, 29, 17, 9, 5, 44, 38, 32, 30, 24, 20, 18, 12, 8, 2] 92, 0, 24, [0, 2, 2, 1, 4, 1, 7, 16, 0, 5, 30, 18, 10, 6, 45, 39, 33, 31, 25, 21, 19, 13, 9, 3] 93, 0, 24, [1, 0, 3, 2, 5, 2, 8, 17, 1, 6, 0, 19, 11, 7, 46, 40, 34, 32, 26, 22, 20, 14, 10, 4] 94, 0, 24, [0, 1, 4, 3, 6, 3, 9, 18, 2, 7, 1, 20, 12, 8, 0, 41, 35, 33, 27, 23, 21, 15, 11, 5] 95, 0, 24, [1, 2, 0, 4, 7, 4, 10, 0, 3, 8, 2, 21, 13, 9, 1, 42, 36, 34, 28, 24, 22, 16, 12, 6] 96, 0, 24, [0, 0, 1, 5, 8, 5, 11, 1, 4, 9, 3, 22, 14, 10, 2, 43, 37, 35, 29, 25, 23, 17, 13, 7] 97, 1, 25, [1, 1, 2, 6, 9, 6, 12, 2, 5, 10, 4, 23, 15, 11, 3, 44, 38, 36, 30, 26, 24, 18, 14, 8] 98, 0, 25, [0, 2, 3, 0, 10, 7, 13, 3, 6, 11, 5, 24, 16, 12, 4, 45, 39, 37, 31, 27, 25, 19, 15, 9, 1] 99, 0, 25, [1, 0, 4, 1, 0, 8, 14, 4, 7, 12, 6, 25, 17, 13, 5, 46, 40, 38, 32, 28, 26, 20, 16, 10, 2] 100, 0, 25, [0, 1, 0, 2, 1, 9, 15, 5, 8, 13, 7, 26, 18, 14, 6, 47, 41, 39, 33, 29, 27, 21, 17, 11, 3]

Matrice de Redheffer

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Matrice

On rappelle qu'une matrice et un simple tableau de nombres.

Ici, elle sera carrée: autant de lignes que de colonnes.

Matrice de Redheffer

Elle caractérise la congruence des nombres.

La valeur de chaque terme se calcule de cette manière:

Lecture: le terme en ligne i et colonne j est égal à 1 pour la colonne où j = 1 ou partout ou i divise j; sinon, il vaut 0.

Exemple avec matrice 3 x 3

j =	1	2	3
i = 1	1	1	1
2	1	1	0
3	1	0	1

La matrice est symétrique par rapport à la diagonale descendante.

La seule valeur nulle est pour 2 qui ne divise par 3 (ou 3 qui ne divise par 2).

Matrice de Redheffer pour n de 4 à 10

Voir Programmation des matrices avec Maple

Bilan

Le triangle des modulos comme la matrice de Redheffer ont des applications en théorie des nombres: sur la fonction de Mertens ou encore la valeur propre (eigenvalue).

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Sites	OEIS A147693 – Triangle read by rows: numbers n and prime numbered columns p such that T(n, p) is n mod p OEIS A174947 – Triangle read by rows: R(n,k)=(prime(n)+1) mod prime(k) Redheffer Matrix – Wolfram mathWorld
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