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Théorème de Ptolémée Relations entre les
diagonales et les côtés d'un quadrilatère
inscrit
dans un cercle. |
Anglais: Ptolemy’s Theorem says that in any cyclic
quadrilateral ABCD …
Voir Claude Ptolémée
(vers 100 à vers 168)
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Théorème Pour un quadrilatère inscrit, le produit des diagonales
est égal à la somme des produits des côtés opposés:
Cas
particulier du rectangle Avec a = c, b = d et m = n, alors:
Le théorème
de Pythagore est un cas particulier du théorème de Ptolémée. Démonstration
NB. Si l'on écrit bien les noms des
triangles semblables, les lettres dans les proportions s'en déduisent
automatiquement
AC.BE
= AB.CD AC.ED
= AD.BC
AC (BE + ED) =
AB.CD + AD.BC AC (BD) = AB.CD +
AD.BC m.n = a.c + b.d |
Relation
générale mn = ac + bd
Relation
particulière m² = a² + b² (Pythagore)
Démonstration
géométrique
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Voir Ptolémée et ses contemporains / Quadrilatère inscriptible
Merci à Jean-Louis Barre pour sa relecture
attentive
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Relation
générale: m.n = a.c + b.d Avec
le triangle équilatéral: a = b = m La
relation devient a.n = a.c + a.d n = c + d |
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Pour bien visualiser cette relation
particulière. Sur ces figures, on retrouve la relation: c + d = n À gauche, dans ce cerf-volant, le diamètre n vaut
2c. |
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Un pentagone
régulier et un trapèze isocèle formé de trois côtés et une diagonale: a.a + a.d = d.d d² – a.d – a² = 0 En
divisant par a² (différent de 0):
Avec x =
d/a x² – x – 1 = 0
C'est l'équation
du nombre d'or.
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Le pentagone régulier est inscriptible dans un cercle: les cinq
sommets sont cocycliques. Le théorème de
Ptolémée est appliquable à quatre des cinq sommets.
d / a = nombre
d'or |
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Voir Brève
26-508 / Cas de l'hexagone
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Données Les points A, B, C et D son cocycliques. Ils sont
situés sur le cercle bleu. Démontrer
Inversion Cercle directeur
de l'inversion centré en A et avec un rayon tel que le cercle bleu est
intérieur. Le cercle bleu passant par le centre d'inversion,
son image est une droite et les points
images B', C' et D' sont situées sur cette droite. Le point A est
renvoyé à l'infini "sur cette droite". Avec les inversions, on a (cf. définition de
l'inversion): AB
. AB' = AC . AC' = AD . AD' = R² Triangles semblables Des égalités précédentes, on tire:
Avec l'angle A commun, les triangles ABC et AC'B'
sont semblables.
Idem pour les triangles ADC et AC'D' et aussi ABD et AD'B'. |
L'inversion offre une démonstration
originale
Avec une inversion, le cercle bleu est transformé en droite rouge et
les points images sur la droite sont alignés. |
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Dans ces trois paires de triangles semblables |
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B', C' et D' sont colinéaires Et, en rempaçant |
B'D' = B'C' + C'D'
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En mulipliant par AB.AC.AD
/ R² |
AC
. BD = AD . BC + AB . CD
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Construction Un
demi-cercle dans lequel est inscrit un quadrilatère. On
connait la longueur de trois de ses côtés. Quelle est la longueur du
quatrième ? Pistes (Figure
du bas) Un
quadrilatère ABDC. Oui,
avec deux fois le théorème
de Pythagore dans les triangles rectangles ACB et ADB. En
effet, ces triangles
inscrits dans le demi-cercle, ayant un diamètre pour hypoténuse, sont
rectangles. La
valeur de x est exprimée par une équation du second
degré. |
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Calculs
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Suite |
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Voir |
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