NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Exemple: choix des glaces

>>> Exemples: lettres ou chiffres

>>> Notation des combinaisons

>>> Combinaisons ou arrangements

>>> Sélection ou distribution

>>> Définition

>>> Calculs – Formule

>>> Calcul du rang d'une combinaison

 

 

 

 

 

 

COMBINAISONS – Introduction

Sélection sans ordre et sans répétitions

 

 

 

But

*    Pioche d'objets dans un sac;

*    Choix dans une collection;

*    Part d'une collection;

*    Morceau d'un tout;

*    Sous-ensemble;

*    Partition; etc.

 

Principe

*    On tire p éléments de l'ensemble de départ qui en compte n.

*    On forme ainsi un ensemble plus petit qui représente une part du grand (sous-ensemble).

 

Voir tout de suite: Astuce de calcul

 

 

 

Exemples: choix des glaces, choix de couleurs …

 

Il fait chaud. je m'arrête chez le marchand de glace.

Il a cinq parfums par cornet (ou coupe) à deux boules.

Combien de possibilités de cornets avec à chaque fois deux parfums différents?

 

*        Avec la vanille comme première boule, je peux choisir chocolat, fraise, pistache ou myrtille; soit quatre choix.

*        Avec chocolat comme première boule, je peux choisir fraise, pistache ou myrtille; soit trois choix.

Pas la vanille, car vanille-chocolat c'est déjà fait et c'est la même chose que chocolat-vanille.

*        Avec fraise comme première boule, je peux choisir pistache ou myrtille; soit deux choix.

*        Avec pistache comme première boule, je dois choisir myrtille; soit un seul choix.

 

Total: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 choix de 2 parmi 5

 

Le compte parait simple, en fait c'est un peu plus compliqué …

 

 

Nous cherchons toutes les possibilités d'un choix de 3 couleurs parmi 5.

En listant les possibilités, on trouve également 10 combinaisons. Pas facile à dénombrer !

Bilan: 10 choix de 2 parmi 5

 

 

Bizarre !

C'est la même quantité (10) pour 2 parmi 5 et 3 parmi 5.

Le calcul n'est pas direct, il passe par le calcul des arrangements: choix de 3 parmi  5 dans l'ordre.

Par exemple avec Jaune, Orange et Vert, on a : JOR, JVO, OJV, OVJ, VJO et VOJ. Soit 6 fois trop de possibilités par rapport à ce que l'on veut.

Le calcul des combinaisons compte alors les arrangements et divise le résultat par la quantité de possibilités en trop.

La formule sera expliquée plus bas.

 

Pour le moment contentons nous de l'astuce de calcul.

 

Astuce

Truc pratique pour compter vite les combinaisons de 2 parmi 5:

 

*        Je forme une fraction avec même numérateur et dénominateur: le produit de tous les nombres jusqu'à 5 (ou n selon la recherche).

*        Je ne conserve que les 2  (ou p) plus grands en haut et les 2 (ou p) plus petits en bas.

L'astuce est générale avec p parmi n:

*      p facteurs en haut comme en bas;

*      les plus grands à partir de n en haut; et

*    les plus petits à partir de p en bas.

 

Notez les nombreuses simplifications immédiates.

 

Deux parfums parmi cinq

 

Trois parfums parmi cinq

 

Quatre parfums parmi dix

 

 

Voir Autres valeurs (triangle de Pascal)

SVP, montrez-moi un autre exemple pratique tout de suite >>>

Sinon, je continue ci-dessous pour les explications théoriques.

 

 

Exemples avec lettres ou chiffres

L'ordre n'a pas importance.

 

Un élément choisi, ne peut plus être re-choisi. C'est un tirage sans remise, c'est-à-dire sans répétition.

 

Exemple avec des chiffres

 

2 parmi 2

2 parmi 3

2 parmi 4

2 parmi 5

[1, 2]
[1, 2], [1, 3], [2, 3]

[1, 2], [1, 3], [1, 4], [2, 3], [2, 4], [3, 4]

[1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5], [2, 3], [2, 4], [2, 5], [3, 4], [3, 5], [4, 5]

3 parmi 3

3 parmi 4

3 parmi 5

[1, 2, 3]

[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 3, 4], [2, 3, 4]

[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 2, 5], [1, 3, 4], [1, 3, 5], [1, 4, 5], [2, 3, 4], [2, 3, 5], [2, 4, 5], [3, 4, 5]

 

 

 

 

Notation

 

Une telle disposition s'appelle:

*    une combinaison de p objets parmi n,

*    une combinaison de n objets pris p par p,

*    une p-combinaison de n.

 

 

Voir explications de la Notation

 

 

 

Combinaisons ou arrangements

 

 

Il existe une relation simple entre les arrangements et les combinaisons

p éléments

bien en ordre

= Choix  en vrac

de p éléments

x toutes les façons

d'ordonner ces p éléments

p–Arrangement

= p–Combinaison

x p–Permutation

 

Pour bien insister!

Combinaisons

de 3 parmi 4

Arrangements

de 3 parmi 4

abc

abc acb bac bca cab cba

abd

abd adb bad bda dab dba

acd

acd adc cad cda dac dca

bcd

bcd bdc cbd cdb dbc dcb

4 combinaisons  et 4 x 6 arrangements  de 3 parmi 4

 

Explications détaillées >>>

 

 

Sélection ou distribution?

Ne pas confondre deux cas typiques:

*    Je dispose de 5 balles et j'en sélectionne 2: combinaisons

*    Je dispose de 5 balles et je les distribue toutes dans deux paniers >>>

 

 

Combinaison – Définition

 

Voir Types de dispositions – Tableau complet

 

 

CALCUL – Combinaisons

 

Le nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble à n éléments est le nombre défini par:


 

Pour 0  p  n

 

Il s'agit du coefficient du binôme. Voir son calcul pratique et astuce.

On retrouve toutes ces valeurs dans le triangle de Pascal.

Exemple: 3 parmi 6 = 20

 

Oups! Je n'y comprends rien avec votre formule, vous n'avez pas plus simple! >>>

 

Calculateur en ligne

Dans votre moteur de recherche, tapez "3 parmi 10"

Et vous obtiendrez: 120

Avec en sus, l'ouverture d'une calculette.

 

 

 

Exemples de calculs

 

Duels télévisés: avec 10 candidats aux élections, il faudrait 45 duels pour être équitable:

 

 

 

BRIDGE: 52 cartes, 13 par joueurs.
Combien de façons de prendre ces 13 cartes parmi les 52? Ou autrement dit: la quantité de mains au bridge:

 

       

Soit environ 635 milliards de mains.

 

Voir Compter les rectangles

 

 

Calcul du rang d'une combinaison

 

On veut savoir quel est le numéro d'une combinaison parmi toutes les combinaisons.

 

Exemple: (2, 3, 4) est la 7e combinaison de 3 parmi 5.

 

Dans ce cas le rang est donné par ce calcul:

 

 

 

Voir Valeurs dans le Triangle de Pascal

Combinaisons ordonnées de 3 parmi 5

R

C1

C2

C3

1

1

2

3

2

1

2

4

3

1

2

5

4

1

3

4

5

1

3

5

6

1

4

5

7

2

3

4

8

2

3

5

9

2

4

5

10

3

4

5

Soit une combinaison de k parmi n et une des combinaisons (C1, C2, … Ck) dans l'ordre croissant.

Le rang de cette combinaison est donné par la formule indiquée.

Exemple pour (1, 2, 5)

Exemple pour (2, 4, 5)

 

Exemple avec 3 parmi 6

20 combinaisons =>

[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 2, 5], [1, 2, 6], [1, 3, 4], [1, 3, 5], [1, 3, 6], [1, 4, 5], [1, 4, 6], [1, 5, 6], [2, 3, 4], [2, 3, 5], [2, 3, 6], [2, 4, 5], [2, 4, 6], [2, 5, 6], [3, 4, 5], [3, 4, 6], [3, 5, 6], [4, 5, 6]

Exemple pour (2, 4, 6)

en 15e position

 

Merci à Alban Gaudel pour sa contribution

 

 

 

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*    Combination rank calculator – dCode

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