Combinaisons - approche

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		Sommaire de cette page >>> Exemple: choix des glaces >>> Exemples: lettres ou chiffres >>> Notation des combinaisons >>> Combinaisons ou arrangements >>> Sélection ou distribution >>> Définition >>> Calculs – Formule >>> Calcul du rang d'une combinaison

COMBINAISONS – Introduction

Sélection sans ordre et sans répétitions

But

Pioche d'objets dans un sac;

Choix dans une collection;

Part d'une collection;

Morceau d'un tout;

Sous-ensemble;

Partition; etc.

Principe

On tire p éléments de l'ensemble de départ qui en compte n.

On forme ainsi un ensemble plus petit qui représente une part du grand (sous-ensemble).

Voir tout de suite: Astuce de calcul

Exemples: choix des glaces, choix de couleurs …
Il fait chaud. je m'arrête chez le marchand de glace. Il a cinq parfums par cornet (ou coupe) à deux boules. Combien de possibilités de cornets avec à chaque fois deux parfums différents? Avec la vanille comme première boule, je peux choisir chocolat, fraise, pistache ou myrtille; soit quatre choix. Avec chocolat comme première boule, je peux choisir fraise, pistache ou myrtille; soit trois choix. Pas la vanille, car vanille-chocolat c'est déjà fait et c'est la même chose que chocolat-vanille. Avec fraise comme première boule, je peux choisir pistache ou myrtille; soit deux choix. Avec pistache comme première boule, je dois choisir myrtille; soit un seul choix. Total: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 choix de 2 parmi 5 *Le compte parait simple, en fait c'est un peu plus compliqué …*
Nous cherchons toutes les possibilités d'un choix de 3 couleurs parmi 5. En listant les possibilités, on trouve également 10 combinaisons. Pas facile à dénombrer ! Bilan: 10 choix de 2 parmi 5 Bizarre ! C'est la même quantité (10) pour 2 parmi 5 et 3 parmi 5. Le calcul n'est pas direct, il passe par le calcul des arrangements: choix de 3 parmi 5 dans l'ordre. Par exemple avec Jaune, Orange et Vert, on a : JOR, JVO, OJV, OVJ, VJO et VOJ. Soit 6 fois trop de possibilités par rapport à ce que l'on veut. Le calcul des combinaisons compte alors les arrangements et divise le résultat par la quantité de possibilités en trop. La formule sera expliquée plus bas. *Pour le moment contentons nous de l'astuce de calcul.*
Astuce Truc pratique pour compter vite les combinaisons de 2 parmi 5: Je forme une fraction avec même numérateur et dénominateur: le produit de tous les nombres jusqu'à 5 (ou n selon la recherche). Je ne conserve que les 2 (ou p) plus grands en haut et les 2 (ou p) plus petits en bas. L'astuce est générale avec p parmi n: p facteurs en haut comme en bas; les plus grands à partir de n en haut; et les plus petits à partir de p en bas. Notez les nombreuses simplifications immédiates.	Deux parfums parmi cinq Trois parfums parmi cinq Quatre parfums parmi dix Voir Autres valeurs (triangle de Pascal)

SVP, montrez-moi un autre exemple pratique tout de suite >>>

Sinon, je continue ci-dessous pour les explications théoriques.

Exemples avec lettres ou chiffres

L'ordre n'a pas importance.

Un élément choisi, ne peut plus être re-choisi. C'est un tirage sans remise, c'est-à-dire sans répétition.

Exemple avec des chiffres

2 parmi 2

2 parmi 3

2 parmi 4

2 parmi 5

[1, 2]
[1, 2], [1, 3], [2, 3]

[1, 2], [1, 3], [1, 4], [2, 3], [2, 4], [3, 4]

[1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5], [2, 3], [2, 4], [2, 5], [3, 4], [3, 5], [4, 5]

3 parmi 3

3 parmi 4

3 parmi 5

[1, 2, 3]

[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 3, 4], [2, 3, 4]

[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 2, 5], [1, 3, 4], [1, 3, 5], [1, 4, 5], [2, 3, 4], [2, 3, 5], [2, 4, 5], [3, 4, 5]

Notation

Une telle disposition s'appelle:

une combinaison de p objets parmi n,

une combinaison de n objets pris p par p,

une p-combinaison de n.

Voir explications de la Notation

Combinaisons ou arrangements

Il existe une relation simple entre les arrangements et les combinaisons

p éléments

bien en ordre

= Choix en vrac

de p éléments

x toutes les façons

d'ordonner ces p éléments

p–Arrangement

= p–Combinaison

x p–Permutation

Pour bien insister!

Combinaisons de 3 parmi 4	Arrangements de 3 parmi 4
abc	abc acb bac bca cab cba
abd	abd adb bad bda dab dba
acd	acd adc cad cda dac dca
bcd	bcd bdc cbd cdb dbc dcb

4 combinaisons et 4 x 6 arrangements de 3 parmi 4

Explications détaillées >>>

Sélection ou distribution?

Ne pas confondre deux cas typiques:

Je dispose de 5 balles et j'en sélectionne 2: combinaisons

Je dispose de 5 balles et je les distribue toutes dans deux paniers >>>

Combinaison – Définition

Voir Types de dispositions – Tableau complet

CALCUL – Combinaisons

Le nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble à n éléments est le nombre défini par:

Pour 0 p n

Il s'agit du coefficient du binôme. Voir son calcul pratique et astuce.

On retrouve toutes ces valeurs dans le triangle de Pascal.

Exemple: 3 parmi 6 = 20

Oups! Je n'y comprends rien avec votre formule, vous n'avez pas plus simple! >>>

Calculateur en ligne

Dans votre moteur de recherche, tapez "3 parmi 10"

Et vous obtiendrez: 120

Avec en sus, l'ouverture d'une calculette.

Exemples de calculs

Duels télévisés: avec 10 candidats aux élections, il faudrait 45 duels pour être équitable:

BRIDGE: 52 cartes, 13 par joueurs.
Combien de façons de prendre ces 13 cartes parmi les 52? Ou autrement dit: la quantité de mains au bridge:

Soit environ 635 milliards de mains.

Voir Compter les rectangles

Calcul du rang d'une combinaison

On veut savoir quel est le numéro d'une combinaison parmi toutes les combinaisons.

Exemple: (2, 3, 4) est la 7^e combinaison de 3 parmi 5.

Dans ce cas le rang est donné par ce calcul:

Voir Valeurs dans le Triangle de Pascal

Combinaisons ordonnées de 3 parmi 5

R	C₁	C₂	C₃
1	1	2	3
2	1	2	4
3	1	2	5
4	1	3	4
5	1	3	5
6	1	4	5
7	2	3	4
8	2	3	5
9	2	4	5
10	3	4	5

Soit une combinaison de k parmi n et une des combinaisons (C₁, C₂, … C_k) dans l'ordre croissant.

Le rang de cette combinaison est donné par la formule indiquée.

Exemple pour (1, 2, 5)

Exemple pour (2, 4, 5)

Exemple avec 3 parmi 6

20 combinaisons =>

[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 2, 5], [1, 2, 6], [1, 3, 4], [1, 3, 5], [1, 3, 6], [1, 4, 5], [1, 4, 6], [1, 5, 6], [2, 3, 4], [2, 3, 5], [2, 3, 6], [2, 4, 5], [2, 4, 6], [2, 5, 6], [3, 4, 5], [3, 4, 6], [3, 5, 6], [4, 5, 6]

Exemple pour (2, 4, 6)

en 15^e position

Merci à Alban Gaudel pour sa contribution

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