NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 04/01/2025 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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Caractéristiques
Famille	Nombre / Figuré Nombre carré centré / nombre triangulaire carré / Nombre carrément carré / Nombre carré-carré / Nombre doublement carré
Définitions	NOMBRE CARRÉ Nombre formé à partir d'un carré de côté n. En fait, le produit d'un nombre par lui-même. Ou, encore, nombre dont la racine carrée est un entier.
Formule	Cn = n²
Caracté-risation	Unités: {0, 1, 4, 5, 6, 9}. Si l'unité vaut 0, la dizaine vaut 0 aussi (cf. 10² = 100). Si l'unité vaut 5, la dizaine vaut 2 (cf. 5² = 25) Racine numérique additive: {1, 4, 7, 9} Racine numérique multiplicative: {0, 1, 2, 4, 6, 8, 9} Voir Recherche d'un nombre carré
Génération

Impairs

Le carré de n est égal à la somme des n nombres impairs successifs. Exemple: 6² = 36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 Illustration: 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 Voir Calcul de la racine carrée avec les impairs

Propriétés	· Les facteurs premiers d'un nombre carré sont à une puissance paire. · Le produit de nombres consécutifs n'est jamais un carré. P. Erdös et Rugge · Un nombre carré n'est jamais le produit de deux nombres premiers distincts. Le produit de deux premiers n'est jamais un carré. Soit n est premier et son carré est composé; soit il est composé, et chacun de ses facteurs premiers est au carré, produisant un nombre composé. · L'unité des carrés successifs suit le motif: impair, pair; la même parité que le nombre. · Tous les carrés sont de la forme 3k + 1 sauf pour les nombres divisibles par 3. Tout nombre peut s'écrire n = 3q + r avec r = {0, 1, 2}. Au carré n² = 3q² + 6qr + r² avec r² = {0, 1, 4}. Or, en division par 3 (mod 3): r = 4 est identique à r = 1. Tous les carrés sont de la forme 3k ou 3k + 1 et jamais 3k + 2. · Le carré de n est égal à la somme des nombres impairs jusqu'à n. · Un carré impair est également un nombre octogonal centré. · Le carré du nombre n est égal au produit des deux nombres qui l'encadre plus un. Exemple: 7² = 6 x 8 + 1 = 48 + 1 = 49 Raison: (n + 1) (n – 1) = n² - 1 · Le carré du nombre n est égal au carré du précédent augmenté de 2n – 1 Exemple: 7² = 6² + 2 x 7 - 1 = 36 + 14 – 1 = 49 Raison: n² - (n-1)² = n² - n² + 2n - 1 = 2n – 1 · Le carré du nombre n est égal à deux fois le précédent moins celui qui le précède plus 2 Exemple: 7² = 2 x 6² - 5² + 2 = 72 – 25 + 2 = 49 Raison: 2(n-1)² - (n-2)² + 2 = 2n² - 4n + 2 – n² + 4n – 4 + 2 = n² · Un carré est la somme de deux nombres triangulaires successifs. Exemple: 6² = 36 = 15 + 21 · La somme de deux carrés consécutifs est un nombre carré centré. · Lorsqu’un carré est la somme de deux carrés premiers entre eux, il est impair et sa racine carrée est aussi la somme de deux carrés premiers entre eux. Exemple: 5² = 3² + 4²: 25 est impair et 5 = 1² + 2². · Si le produit de deux entiers premiers entre eux est un carré, chacun d’eux est un carré et leurs racines carrées sont premières entre elles. Exemple: 4 x 9 = 36 = 6² et 4 = 2² comme 9 = 3². · Si un carré divise un carré, la racine carrée du premier divise la racine carrée du deuxième. Exemple: 15² = 225 = 9 x 25 et 3 divise 15, comme 5 divise 15.
Imaginaire	· Un carré particulier à noter, pilier des nombres complexes: i² = -1.
Anglais	· Square number or perfect square

Liste

n n² 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49 8 64 9 81 10 100 11 121 12 144 13 169 14 196 15 225 16 256 17 289 18 324 19 361 20 400 21 441 22 484 23 529 24 576 25 625

n n² 26 676 27 729 28 784 29 841 30 900 31 961 32 1024 33 1089 34 1156 35 1225 36 1296 37 1369 38 1444 39 1521 40 1600 41 1681 42 1764 43 1849 44 1936 45 2025 46 2116 47 2209 48 2304 49 2401 50 2500

n n² 51 2601 52 2704 53 2809 54 2916 55 3025 56 3136 57 3249 58 3364 59 3481 60 3600 61 3721 62 3844 63 3969 64 4096 65 4225 66 4356 67 4489 68 4624 69 4761 70 4900 71 5041 72 5184 73 5329 74 5476 75 5625

n n² 76 5776 77 5929 78 6084 79 6241 80 6400 81 6561 82 6724 83 6889 84 7056 85 7225 86 7396 87 7569 88 7744 89 7921 90 8100 91 8281 92 8464 93 8649 94 8836 95 9025 96 9216 97 9409 98 9604 99 9801 100 10000 …

Quantité de chiffres

Le carré d'un nombre à n chiffres aura 2n – 1 ou 2n chiffres (11² = 121, … 31² = 961, 32² = 1024, … et 99² = 9801).

Les nombres à partir desquels le carré prend un chiffre de plus, pour n avec le même nombre de chiffres : [32, 1024], [317, 100489], suite ci-dessous. Ce sont les plus petits carrés à 2k chiffres.

Un carré à n chiffres est le carré d'un nombre à n/2 chiffres si n est pair et 1/2 (n + 1) chiffres si n est impair.

Plus petits carrés à 2k chiffres

Carrés avec minimum de chiffres

Carrés avec seulement deux chiffres différents de n = 10 à 10 000, hors nombres en 10, comme 10² = 100

[11, 121], [12, 144], [15, 225], [21, 441], [22, 484], [26, 676], [38, 1444], [88, 7744], [109, 11881], [173, 29929], [212, 44944], [235, 55225], [264, 69696], [3114, 9696996]

Aucun carré avec un seul chiffre

Voir Carrés avec chiffres répétés

Suite	· Nombres carrément carré · Nombres premiers de Pythagore
Voir	· Calcul des carrés · Caractérisation des nombres avec des premiers · Carré en géométrie · Nombres carrés – Glossaire · Nombres carrés – Index · Puissance – Index · Racine carrée – Calcul mental · Racine carrée d'un nombre – Glossaire
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