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Racines numériques des
PUISSANCES Persistances additives et
multiplicatives des puissances La racine
numérique additive consiste à faire la somme des chiffres d'un nombre et
cela jusqu'à n'obtenir qu'un seul chiffre. Idem avec le produit des chiffres. Ici, nous nous intéressons
aux propriétés de la racine numérique des nombres portés à une certaine puissance. Exemples
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Anglais:
Additive
digital root / Multiplicative digital root /
Additive
persistence / Multiplicative persistence
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On
cherche à savoir quelles sont les unités des carrés,
des cubes
et autres puissances (P). De même,
quelles sont les valeurs des racines numériques additives et multiplicatives. |
Exemple 13² = 169 Unité: 9 RN+ = 1 + 6 + 9 = 16 et 1 + 6 = 7 RN× = 1 x 6 x 9 = 54 et 5 x 4 = 20 et 2 x 0 = 0 |
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Carrés |
Cubes |
Bicarrés |
Puissance
5 |
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[1, 1, 1, 1, 1], [2, 4, 4, 4, 4], [3, 9, 9, 9, 9], [4, 16, 6, 7, 6], [5, 25, 5, 7, 0], [6, 36, 6, 9, 8], [7, 49, 9, 4, 8], [8, 64, 4, 1, 8], [9, 81, 1, 9, 8], [10, 100, 0, 1,
0], [11, 121, 1, 4, 2],
[12, 144, 4, 9, 6], [13, 169, 9, 7, 0], [14, 196, 6, 7, 0], [15, 225, 5, 9, 0], [16, 256, 6, 4, 0], [17, 289, 9, 1, 6], [18, 324, 4, 9, 8], [19, 361, 1, 1, 8], [20, 400, 0, 4, 0], [21, 441, 1, 9, 6], [22, 484, 4, 7, 6], [23, 529, 9, 7, 0], [24, 576, 6, 9, 0], [25, 625, 5, 4, 0] , |
[1, 1, 1, 1, 1], [2, 8, 8, 8, 8], [3, 27, 7, 9, 4], [4, 64, 4, 1, 8], [5, 125, 5, 8, 0], [6, 216, 6, 9, 2], [7, 343, 3, 1, 8],
[8, 512, 2, 8, 0],
[9, 729, 9, 9, 2],
[10, 1000, 0, 1, 0], [11, 1331, 1, 8, 9],
[12, 1728, 8, 9, 2], [13, 2197, 7, 1, 2], [14, 2744, 4, 8, 6],
[15, 3375, 5, 9, 5],
[16, 4096, 6, 1, 0], [17, 4913, 3, 8, 0], [18, 5832, 2, 9, 0], [19, 6859, 9, 1, 0], [20, 8000, 0, 8, 0], [21, 9261, 1, 9, 0], [22, 10648, 8, 1, 0], [23, 12167, 7, 8, 6], [24, 13824, 4, 9, 8], [25, 15625, 5, 1, 0], |
[1, 1, 1, 1, 1], [2, 16, 6, 7, 6], [3, 81, 1, 9, 8], [4, 256, 6, 4, 0],
[5, 625, 5, 4, 0],
[6, 1296, 6, 9, 0], [7, 2401, 1, 7, 0], [8, 4096, 6, 1, 0], [9, 6561, 1, 9, 0], [10, 10000, 0, 1,
0], [11, 14641, 1, 7, 0], [12, 20736, 6, 9, 0], [13, 28561, 1, 4, 0], [14, 38416, 6, 4, 0], [15, 50625, 5, 9, 0], [16, 65536, 6, 7, 0], [17, 83521, 1, 1, 0], [18, 104976, 6, 9, 0], [19, 130321, 1, 1, 0], [20, 160000, 0, 7, 0], [21, 194481, 1, 9, 0], [22, 234256, 6, 4, 0], [23, 279841, 1, 4, 0], [24, 331776, 6, 9, 6], [25, 390625, 5, 7, 0], |
[1, 1, 1, 1, 1], [2, 32, 2, 5, 6], [3, 243, 3, 9, 8], [4, 1024, 4, 7, 0], [5, 3125, 5, 2, 0], [6, 7776, 6, 9,
0], [7, 16807, 7, 4, 0], [8, 32768, 8, 8, 0], [9, 59049, 9, 9,
0], [10, 100000, 0, 1,
0], [11, 161051, 1, 5, 0], [12, 248832, 2, 9, 0], [13, 371293, 3, 7, 2], [14, 537824, 4, 2, 0], [15, 759375, 5, 9, 0], [16, 1048576, 6, 4, 0], [17, 1419857, 7, 8, 0], [18, 1889568, 8, 9, 0], [19, 2476099, 9, 1, 0], [20, 3200000, 0, 5, 0], [21, 4084101, 1, 9, 0], [22, 5153632, 2, 7, 0], [23, 6436343, 3, 2, 0], [24, 7962624, 4, 9, 0], [25, 9765625, 5, 4, 0], |
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Racines multiplicatives non nulles des puissances 2 à 10 |
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Les
racines multiplicatives sont victimes de la présence d'un 0, ou d'un 5
accompagné d'un chiffre pair. Elles sont donc souvent nulles. Quelles
sont celles qui résistent ? Avec le
carré, elles sont 127 à persistance non nulle jusqu'à n = 1000: il n'en reste
que 8 avec la puissance 5; et, hormis, le 1, toutes les persistances des
puissances 8 et au-delà sont nulles. Racine multiplicative des carrés Exemple:
19² = 361
et 3 x 6 x 1 = 18 puis 1 x 8 = 8 |
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p = 2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
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kt = 127 |
51 |
21 |
8 |
4 |
4 |
1 |
1 |
1 |
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1, 1 2, 4 3, 9 4, 6 6, 8 7, 8 8, 8 9, 8 11, 2 12, 6 17, 6 18, 8 19, 8 … 904, 6 932, 8 939, 8 943, 6 969, 6 973, 6 981, 6 |
1, 1 2, 8 3, 4 4, 8 6, 2 7, 8 9, 2 11, 9 12, 2 13, 2 14, 6 15, 5 23, 6 … 907, 6 908, 6 933, 6 991, 8 |
1, 1 2, 6 3, 8 24, 6 37, 6 39, 6 42, 2 47, 6 92, 6 118, 2 159, 6 184, 6 186, 8 208, 6 283, 6 309, 6 337, 6 392, 6 427, 6 716, 2 816, 2 |
1, 1 2, 6 3, 8 13, 2 84, 8 446, 8 483, 8 679, 6 |
1, 1 2, 8 3, 2 336, 6 |
1, 1 2, 6 3, 2 11, 8 |
1, 1 |
1, 1 |
1, 1 |
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Testez si N est un carré Si N ne se termine pas par {00, 1, 4, 5, 6 ou 9}, ce n'est par un
carré. Si son unité vaut 0 et sa dizaine non, ce n'est pas un carré. Si son unité vaut 5 et sa dizaine n'est pas 2, ce n'est pas un carré. Si l'unité est {1, 4 ou 9} et la dizaine est impaire, ne n'est pas un
carré. Si l'unité est {5} et la dizaine est paire, ne n'est pas un carré. Sinon, en ayant retiré les éventuels zéros finaux, N devient N' Si la racine numérique additive de N' n'est pas {1, 4, 7, 9}, ce n'est
pas un carré. |
Critère de reconnaissance d'un possible carré
Liste des nombres susceptibles d'être carrés 1, 4, 9, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56,
61, 64, 69, 76, 81,
84, 89, 96, 100 Efficacité 45% entre 1 et 100 Elle tombe à 13 % entre 100 et
1000 et à 3,5% entre 1000 et 10 000. |
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Exemple avec n² = 15 128 à 15130 15 128 n'est pas un carré du
fait de son unité. 15 130 n'est pas un carré du fait de sa dizaine. 15 129 passe les trois tests et alors, ce nombre est susceptible
d'être un carré. Son unité est 3 ou 7 et il est en "1a3" ou "1a7". Reste à tester tous ces cas pour trouver la valeur de a. Ce qui
conduit à: a = 2 et n = 123. |
123² = 15 129 |
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Trouver le plus grand carré à neuf chiffres
distincts (hors 0) Il commence sans doute par 9 et se termine par 6. Les chiffres sont tous différents. Soit la fourchette min-max. Calcul de la racine Calcul de la racine arrondie à l'entier proche terminé par 4 ou 6. Calcul de son carré Soit 1208 nombres. Mais l'unité de n est 4 ou 6 pour obtenir un carré en 6. Soit 243 nombres à tester (avec un tableur: après avoir listé ces
nombres ayant 4 et 6 pour unité, faire la somme des chiffres des carrés et
ne retenir que celles égales à 45; il y en a 31). |
n²
= 9abcdefg6 n²
min = 912345786 n²
max = 987543216 n
min = 30 206 => n² = 912 402 436 n
max = 31 414 => n² = 986 839 396 n = 30 384 et n² = 923 187 456 Un examen complet avec logiciel montre qu'il s'agit bien du plus grand
nombre carré panumérique. |
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Voir Carrés pannumériques
Pour la route …
Voir Carré et
racine carrée des repdigits
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Voir |
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Aussi |
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