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Édition du: 31/05/2025 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Topologie Graphe Géométrie	TOPOLOGIE
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VARIÉTÉ TOPOLOGIQUE Une variété topologique est un espace qui, localement, ressemble à un espace classique (espace euclidien). Autrement dit, autour de chaque point, la variété "ressemble" à un morceau du tout. La variété ressemble localement à une droite, un plan, ou autre, mais le tout peut avoir une structure globale différente et plus complexe. En simplifiant : partout où l’on zoome sur la variété, on retrouve une portion de ligne ou de surface familière.
	Sommaire de cette page >>> Variété en topologie >>> Propriétés des variétés >>> Particularités et Actualités >>> Exemples de variétés >>> Étymologie (Mannigfaltigkeit) >>> Comparaison >>> Variétés et bords >>> Historique	Débutants Géométrie Glossaire Géométrie

Anglais: Topological manifold or topological space

Variété en topologie

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Présentation Les variétés topologiques sont des objets mathématiques qui permettent de généraliser notre compréhension des formes et des espaces. Parfois, pour simplifier, on dit que la notion de variété est une généralisation de la notion de surface à toutes les dimensions. Les variétés apparaissent dans plusieurs domaines des sciences, comme la physique, l’informatique et l’ingénierie. L’idée générale est que les objets étudiés, même s’ils peuvent être courbés ou enroulés, ressemblent toujours, à petite échelle, à des espaces plus simples comme la droite ou le plan. C’est cette propriété qui définit une variété topologique. Analogie Intuitivement, une variété topologique de dimension 2 est un espace qui, localement, c’est à dire si on ne regarde pas trop loin, ressemble à un petit morceau de feuille de papier qu’on aurait pu découper avec des ciseaux après en avoir tracé le pourtour au crayon (on peut d’ailleurs froisser le bout de papier en question). La structure globale de cet espace peut être évidemment assez différente puisque la variété elle-même est obtenue par recollement de tous ces petits morceaux de papier. Ainsi, un pneu de bicyclette, éventuellement dégonflé, plié et froissé fournit un exemple d’objet physique qu’on peut modéliser à l’aide d’une variété topologique de dimension 2 : un tore. Définition Une variété topologique est un espace qui ressemble localement à un espace euclidien (une droite, un plan, etc.), mais qui peut avoir une structure globale différente et bien plus complexe. En termes plus simples : partout où l’on zoome sur la variété, on retrouve une portion de ligne ou de surface familière. Une variété topologique est tout d’abord un espace topologique, mais on suppose, de surcroît, que chacun de ses points possède un voisinage homéomorphe (semblable par simple déformation).

Propriétés des variétés		haut
Dimension La dimension d’une variété correspond au nombre minimal de coordonnées nécessaires pour décrire un point dans un voisinage un point.	Une variété de dimension 1 : une courbe, comme un cercle. Une variété de dimension 2 : une surface, comme une sphère ou un tore. Une variété de dimension 3 : l'espace classique en trois dimensions. Une variété de dimension n : un espace avec n degrés de liberté.
Propriétés topologiques Caractéristiques de forme: un seul bloc (continu) ou pas; présence de trous ou pas; …	Une variété est connexe si elle est formée d’un seul morceau. Par exemple, une sphère est connexe, tandis que deux cercles séparés ne le sont pas. La simple connexité signifie que toute boucle peut être réduite à un point sans découper la variété. Une sphère est simplement connexe, tandis qu’un tore ne l’est pas Une variété est compacte si elle est bornée et fermée, comme une sphère. Elle est non compacte si elle s’étend à l’infini, comme un plan ou une droite. Certaines variétés possèdent une limite. Par exemple, un disque (cercle rempli) possède un bord, alors que la sphère en est dépourvue.
Applications Les variétés sont utilisées dans plusieurs domaines.	Géométrie : Classification des surfaces et étude des courbes. Physique théorique : L’étude de l’univers et des dimensions cachées (espace-temps de la relativité, les onze dimensions de la théorie des corde, etc.) Géométrie différentielle : La courbure des surfaces et les espaces non euclidiens. Intelligence artificielle et reconnaissance de formes : Les données peuvent être organisées sous forme de variétés. Biologie : Étude des structures moléculaires et des surfaces biologiques.

Particularités

Un concept de base en topologie est la "variété", une forme qui est la même partout, c'est-à-dire qu'elle n'a pas de points d'extrémité, de points d'arête, de points de croisement ou de points de ramification.

A basic concept in topology is the “manifold”, a shape that is the same everywhere, meaning that it has no end points, edge points, crossing points or branching points.

Actualités

La notion de variété introduit un espace topologique localement euclidien mais qui peut être globalement plus complexe à l’image de la sphère, où, par exemple à la surface de la Terre, on a l’impression que la surface est localement plate sans que cela soit vrai globalement.

Un sujet crucial consiste en la classification des variétés selon la quantité de dimensions. Dennis Sullivan a développé un outil qui permet de construire une variété à partir d’une autre de façon contrôlée. Cet outil a été déterminant pour classer les variétés de dimensions supérieures ou égales à 5.

Exemples de variétés		haut
Exemples dans le domaine classique Ces ont les variétés des objets géométriques classiques.	La droite ℝ : C'est la variété la plus simple. À chaque point, elle ressemble localement à un petit segment de ligne droite Le plan ℝ² : Il est constitué d’une infinité de points et, autour de chaque point, on peut voir un petit bout de surface plate, comme une feuille de papier. Le cercle S¹ : Bien que globalement il soit courbé, localement, si on zoome sur un point, il ressemble à une portion de ligne droite. La sphère S² : Comme la Terre, elle est ronde, mais autour de chaque point, elle ressemble localement à un petit morceau de plan.
Exemples exotiques Certaines variétés présentent des propriétés surprenantes. Voir Objets topologiques	Le tore : il ressemble à un beignet et a un trou au milieu. Le ruban de Möbius: Il ressemble à une bande de papier torsadée une seule fois avant d’être refermée, ce qui donne une surface avec un seul bord et une seule face. C'st une surface non orientable. La bouteille de Klein : un objet fascinant en topologie : elle n’a ni intérieur ni extérieur définis et est une surface non orientable. Contrairement à une sphère ou un tore, elle ne peut pas être construite dans l’espace tridimensionnel sans auto-intersection. Le plan projectif : un espace où des lignes parallèles peuvent se croiser à l’infini. un objet fascinant en topologie : elle n’a ni intérieur ni extérieur définis et est une surface non orientable. Contrairement à une sphère ou un tore, elle ne peut pas être construite dans l’espace tridimensionnel sans auto-intersection. L'espace tridimensionnel courbé: variété de dimension 3. Par exemple, l’espace hyperbolique ou les variétés utilisées en relativité générale pour modéliser l’univers. La variété de dimension infinie: certaines variétés existent dans des espaces de dimension infinie, comme les espaces fonctionnels en analyse mathématique.
Extension aux variétés différentielles	Le terme variété peut désigner une variété topologique, ou, le plus souvent, une variété topologique munie d'une autre structure. Par exemple, une variété différentielle est une variété topologique munie d'une structure permettant le calcul différentiel.

Étymologie		haut
Pourquoi VARIÉTÉ ? Ce terme signifie diversité ou multiplicité. C'est Bernhard Riemann qui a développé la notion de variété pour généraliser les surfaces à des dimensions supérieures. Il leur donne le nom allemand: Mannigfaltigkeit qui donnera Manifold en anglais (many folds => plusieurs plis).	Une variété désigne tout espace qui se comporte localement comme ℝ^nmais qui peut avoir une structure globale très complexe. Le choix du mot variété s’explique par le fait que les objets nommés sont des structures mathématiques qui peuvent avoir des formes et des propriétés très différentes, tout en partageant la caractéristique commune d’être localement similaires dans l’espace euclidien. En d’autres termes, les variétés forment une famille de structures diverses, unifiées par leur définition mais possédant une grande richesse de formes possibles.
Le mot allemand Mannigfaltigkeit désigne quelque chose qui possède une grande diversité de formes ou de structure. Une notion parfaitement adaptée aux variétés topologiques, qui peuvent être localement simples mais globalement complexes et riches.	Décomposition du mot mannig : signifie "multiple" ou "varié." faltig : signifie "pli" ou "structure pliée." Faltig" est souvent utilisé pour exprimer une caractéristique répétitive ou une multiplicité de formes. -keit : suffixe équivalent à "-ité" en français.

Comparaison		haut
SIMPLES	COMPLEXES
Dimension : Les variétés les plus simples sont de dimension 1, comme une droite ou un cercle. Celles de dimension 2, comme le plan ou la sphère, offrent déjà des formes plus sophistiquées.	En dimension supérieure, on trouve des variétés comme le tore ou des espaces plus abstraits utilisés en physique et en mathématiques.
Structure globale : Un cercle et une droite sont très différents. Globalement : la droite s’étend à l’infini, alors que le cercle est fini et sans bord.	Un tore (la forme d’un beignet) est plus complexe que la sphère : il a un trou au milieu qui change son comportement topologique.
Propriétés topologiques : Les variétés simples sont souvent connexes et peuvent être simplement connexes (comme une sphère, pour laquelle toute boucle peut être réduite à un point).	Les variétés complexes, comme la bouteille de Klein, peuvent avoir des propriétés inhabituelles, comme ne pas avoir d’orientation définie.

Variétés et bords		haut
Bords Sans précision, une variété topologique est censée être une variété sans bord. Voir Ouvert-fermé	En rampant sur la surface d’un ballon (une sphère) ou d’un pneu (un tore), nous ne sommes jamais arrêtés par une quelconque barrière. Ce sont des variétés sans bord de dimension 2. En se promenant dans le ballon (une boule), nous sommes dans la dimension 3, et nous rencontrons un bord, la surface de la boule (une sphère). Il est toujours possible de fabriquer des variétés à bord en effectuant un ou plusieurs trous dans une variété sans bord; la partie enlevée, comme la partie qui reste, devient une variété topologique à bord.
Sphère et boule	Promenade dans une boule ouverte: nous ne pourrons jamais atteindre aucun bord... En effet, une boule ouverte est une variété sans bord de dimension 3 qui est d’ailleurs homéomorphe à R^3. Par contre, une boule fermée est une variété à bord de dimension 3, les points du bord sont ceux de la sphère (une variété de dimension 2) et ils possèdent – dans la boule fermée – des voisinages particuliers.

Variété différentiable		haut
Intuitivement, on peut considérer une variété différentiable comme une variété topologique qui soit lisse, c’est-à-dire sans plis, sans coins, etc. Deux notions pour travailler sur les variétés différentiables: la carte et l'atlas. Carte : Une représentation locale d'une partie de la variété qui transforme cette portion en un ouvert de $R^n pour permettre une compréhension et une manipulation facilitées. Atlas : L'ensemble des cartes qui, ensemble, recouvrent toute la variété, avec des règles de transition assurant la cohérence dans les zones de recouvrement. $	Cela permet de caractériser et d'étudier la géométrie locale en utilisant des outils bien connus dans l'espace euclidien, tout comme une carte papier qui aide à s'orienter dans une ville. Ces concepts permettent ainsi de passer de l'étude locale (facilement appréhendée comme une petite fenêtre sur $R^n) à une compréhension globale de la structure de la variété. Image: l'atlas constitue le vêtement qui recouvre la variété, assemblé à partir de nombreuses cartes locales parfaitement ajustées les unes aux autres. Ces idées sont fondamentales pour aborder la structure lisse des variétés en géométrie différentielle, et elles permettent de "traduire" la complexité globale d'un espace en une succession de morceaux locaux plus simples à analyser. $

Historique

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1851 – Bernhard Riemann introduit la notion de variété dans son mémoire sur les fondements de la géométrie, posant les bases de la géométrie différentielle. 1872 – Felix Klein propose le Programme d'Erlangen, qui classe les géométries selon leurs groupes de transformations, influençant la compréhension des variétés. 1892 – Henri Poincaré développe la topologie algébrique et introduit le concept de groupe fondamental, essentiel pour l'étude des variétés. 1908 – L.E.J. Brouwer prouve le théorème de l'invariance du domaine, établissant une propriété clé des variétés topologiques. 1913 – Gino Fano travaille sur les variétés algébriques et les espaces projectifs, contribuant à la classification des variétés de Fano. 1926 – John von Neumann et Hermann Weyl développent la théorie des espaces homogènes, qui joue un rôle central dans l'étude des variétés différentiables. 1936 – Hassler Whitney formalise la notion de variété différentiable et prouve que toute variété différentiable peut être plongée dans un espace euclidien. 1956 – René Thom établit des résultats fondamentaux en topologie différentielle, notamment sur la classification des cobordismes. 1960s – Michael Atiyah et Isadore Singer démontrent le théorème de l'indice, reliant la topologie des variétés aux propriétés analytiques des opérateurs différentiels. 1980s – William Thurston révolutionne la géométrie des variétés en trois dimensions avec sa conjecture sur la géométrisation.

Quantité de variétés: Dimension 3 : 105 Dimension 4 : plusieurs millions

Le mathématicien Gino Fano, en 1913, commence à étudier les variétés, à les classer. Il s'agit de variétés que l'on peut visualiser en considérant qu'elles ont une courbure positive et sont donc analogues en dimension supérieure de la sphère. Une variété de Fano est une variété algébrique projective lisse connexe, définie sur un corps algébriquement clos, dont le fibré anticanonique (c’est-à-dire le déterminant du fibré tangent) est ample. – Olivier Debarre

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