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Débutant DicoMot DicoNombre	TOPOLOGIE

>>> Vocabulaire de la topologie

Définition	Science qui étudie les propriétés géométriques invariantes d'un objet quand celui-ci est étiré, tordu ou rétréci de manière continue. Science qui étudie les propriétés géométriques invariantes sous l'effet de transformations biunivoques continues.
Analogies	On peut imaginer les objets topologiques fabriqués en plastique mou et déformables à souhait Sans déchirement, Sans collages avec superpositions. Opération semblable au procédé vidéo, appelé morphing, qui fait passer d'un objet à un autre par déformation progressive.

Propriétés

En topologie, les distances n'existent pas: Cercle et ellipse sont équivalents comme sphère et ellipsoïde, Une surface plane équivaut à une surface ondulée, pliée, tordue, Une sphère lisse à une sphère bosselée, Un tore, une chambre à air, un donut (doughnut), une tasse sont équivalents. Mais, un cercle est un ensemble de points particuliers Si un seul point est retiré ce n'est plus un cercle mais un segment de droite.

But

Donner un sens aux notions intuitives de voisinage, continuité, limite … Classer les ensembles de points qui forment des objets réels ou qui sont objets mathématiques plus généraux. Définir des notions fondamentales comme: ouvert et fermé compact, adhérent, accumulation convergence, connexité … Étudier les liens entre espaces topologiques et espaces métrisables …

Maths

Un espace topologique est un ensemble E d'éléments appelés points, auquel est associée une famille de sous-ensembles de E appelés ouverts, satisfaisant aux trois axiomes de la topologie: E et l'ensemble vide sont des ouverts. Toute réunion d'ouverts est un ouvert. L'intersection d'un nombre limité d'ouverts est un ouvert. Voir Espace de Hilbert – Topologie

Types

Topologie algébrique Utilisation de procédés algébriques pour résoudre les problèmes de topologie. Géométrie de la feuille de caoutchouc (rubber-sheet geometry). Topologie qui finalement s'intéresse beaucoup aux objets à trous (sphère, tore, bretzel …). Topologie ensembliste (ou topologie) Elle a pour origine l'analyse réelle: propriété d'ensembles de points sans faire appel à l'algèbre mais à des propriétés de voisinage.

Origine	Du grec topos lieu et logos étude. Autrefois, topologie était synonyme de "géométrie de position". La topologie était appelée: "analyse de situation" (analysis situs)
Anglais	TOPOLOGY The concept of topological space grew out of the study of the real line and Euclidean space, and the study of continuous functions of these spaces. open and closed sets. limit points. continuous functions. The concept of a topological space that is now standard was a long time in being formulated.

Vocabulaire utile		haut
Topologie	La topologie est un domaine spécifique de la géométrie où seules comptent les relations de voisinage et non les égalités, les distances, les mesures en général. Les topologues ignorent les angles et la forme exacte des objets.	>>>
Genre Genus: the number of "holes" of a surface.	Le genre est un entier naturel associé à certains objets ; il représente en particulier le nombre d'anses (ou de « trous », selon le point de vue) d'une surface caractéristique de l'objet étudié, si cette surface est orientable.
Différentielle	La topologie différentielle est une branche des mathématiques qui étudie les formes et les structures des espaces en tenant compte de leur capacité à être lissés et différentiés. Pour l'expliquer simplement, imagine une feuille de papier que tu peux plier, courber et déformer sans la déchirer. La topologie différentielle s'intéresse aux propriétés qui restent inchangées sous ces transformations.
Symplectique	La topologie symplectique est une branche des mathématiques qui étudie les structures géométriques utilisées notamment en mécanique classique et en physique quantique. Pour l'expliquer simplement, imagine un tapis en caoutchouc que tu peux étirer et déformer sans le déchirer ni le plier brusquement. La topologie symplectique s'intéresse aux propriétés qui restent inchangées sous ces transformations.
Homéomorphisme Passage d'un objet à un autre par une déformation continue (équivalent à morphing)	Deux objets sont homéomorphes si l'on peut passer de l'un à l'autre par une déformation continue, que l'on aille dans un sens ou dans l'autre Un homéomorphisme est une application bijective continue, d'un espace topologique dans un autre, dont la bijection réciproque est continue. Dans ce cas, les deux espaces topologiques sont dits homéomorphes.

Invariant topologique Propriété qui ne change pas sous homéomorphisme	Objets semblables par déformation. – ex. le tore est homéomorphe à une tasse de thé. Un **invariant topologique** est une propriété d’un espace topologique qui ne change pas lorsqu’on applique un homéomorphisme (c’est-à-dire une déformation continue avec inverse continue). **Exemple d’invariants topologiques :** - Le nombre de composantes connexes. - Le genre d’une surface (nombre de "trous"). - Le groupe fondamental (qui mesure les "boucles" dans l’espace). Ces invariants servent à distinguer des espaces topologiques qui ne sont pas homéomorphes.	>>>
Invariant de Kervaire Invariant mod 2 pour certaines variétés de dimension (4k+2)	C’est un nombre (souvent 0 ou 1 modulo 2) associé à une variété, qui reste constant sous certaines transformations. Il a été introduit par Michel Kervaire dans le cadre de la classification des variétés et des structures différentiables. Cet invariant est important en topologie différentielle et en théorie des nœuds, mais sa définition précise est assez technique et utilise des outils d’algèbre et de géométrie avancée (comme la théorie de l’intersection et les formes quadratiques sur les groupes d’homologie).
Variété Espace localement semblable à R^n	Extension de la notion d'objets en géométrie La droite est une variété de dimension 1. Le plan est une variété de dimension 2. L'espae	>>>
Homotopie Déformation continue entre deux fonctions	L’homotopie est une notion qui formalise l’idée de déformation continue entre deux fonctions. Deux espaces sont dits *homotopiquement équivalents s’il existe des fonctions continues entre eux dont les compositions sont homotopes aux identités respectives. Cela signifie qu’ils ont la même forme au sens de la topologie homotopique.
Homéomorphisme	Deux objets sont homéomorphes si l'on peut passer de l'un à l'autre par une déformation continue, que l'on aille dans un sens ou dans l'autre.	>>>

Cobordisme Relation où deux variétés sont bords d’une variété plus grande	Le cobordisme est une relation entre variétés (M et N) qui formalise l’idée que deux variétés peuvent être les bords d’une variété de dimension supérieure (W). Autrement dit, (M) et (N) sont reliées par une variété (W) qui réalise une interpolation entre elles. Le cobordisme est utilisé pour classer les variétés selon cette relation. Deux variétés cobordantes sont considérées comme équivalentes dans la théorie du cobordisme.	>>>
Chirurgie topologique	La chirurgie topologique est une technique fondamentale en topologie différentielle et en géométrie. Elle est utilisée pour modifier les variétés de manière contrôlée. Le but étant de transposer les propriétés d'une variété plus simple à une variété plus compliquée.	>>>

Voir DicoMot Math

En savoir plus	Topologie – Index Topologie – Introduction
Et aussi	Catastrophes Curiosités topologiques Dissection Graphes Graphes planaires Les trois géométries Nœuds Ouvert Pavage Poincaré – Conjecture Symétries
Jeux	Arbre de distribution Chemin de l'ivrogne Chemin eulérien Chemin le plus court Parcours du cavalier Pont de Königsberg Trois maisons (énigme des -) Voyageur de commerce
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