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Édition du: 20/05/2025 |
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INDEX |
TOPOLOGIE |
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OUVERT en TOPOLOGIQUE
Un OUVERT est un ensemble
qui ne contient aucun BORD. Avec les bords, il est FERMÉ. Concrètement,
cela signifie que si vous prenez n’importe quel point de cet ensemble, vous
pouvez toujours tracer autour de ce point une petite boule entièrement
contenue dans l’ensemble. Cette
notion permet de définir la notion de voisinage et d'en déduire les
propriétés structurelles des ensembles. Ouvert ou
fermé ? Tout dépend du comportement sur les bords. |
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Sommaire de cette page >>> Ensemble OUVERT >>> Ensemble FERMÉ >>> Propriétés |
Débutants Glossaire |
Anglais: Open set and closed
set
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Dans R (dimension 1) La droite réelle |
Tout intervalle de la forme (a, b) est un ouvert. Car, quel que soit le point x dans (a, b), il
existe un petit intervalle autour de x qui reste inclus dans (a, b). |
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Dans R² (dimension 2) Le plan |
Un disque de diamètre inférieur à r est un
ouvert. Car, quel que soit le point x dans le disque il
existe un petit disque autour de x qui reste inclus dans le disque initial. |
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Dans Rn (dimension n) L'espace de dimension n |
Soit U inclus dans Rn. On dit que U est ouvert si, pour tout point s de
U, il existe un rayon r > 0 tel que
la boule ouverte centrée en x, définie par: Cela veut dire qu'autour de chaque x de U, il existe
un intervalle (pour n = 1), un disque (pour n = 2), une sphère (pour n = 3),
etc. , qui ne sort jamais de U. |
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"Liberté de circulation" |
Si un ensemble est ouvert, alors chaque point de
U est un point intérieur. On peut se déplacer autour de chaque point sans
jamais atteindre une limite de l'ensemble. |
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Points frontière |
Un ensemble F de Rn est fermé s'il
contient tous ses points frontières, aussi appelés points d'accumulation. Autrement dit, toute suite convergente de F a sa
limite dans F. |
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Comparaison |
Dans un ensemble ouvert, la bordure n'est jamais
incluse. Dans un ensemble fermé, la frontière est incluse. |
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Intérêt |
En analyse, les fonctions continues et les suites
convergentes interagissent différemment avec des ensembles selon qu'ils sont
ouverts ou fermés. |
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Exemples du disque (R²) |
Disque ouvert
Disque fermé
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Ouvert-fermé (Clopen set) |
Deux cas seulement
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Les ouverts sont les blocs de construction
fondamentaux en topologie. |
Comprendre le concept d'ouvert est essentiel. Il
forme la base pour étudier des notions plus avancées comme la continuité, la
compacité, et la connexité dans l’analyse et la géométrie. Par exemple, la définition d'une fonction
continue repose sur le fait que l'image réciproque d’un ouvert est un ouvert. |
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Élément d'appréciation d'une structure de
l'ensemble |
Que ce soit dans l’étude théorique des espaces ou
dans des applications pratiques (comme en analyse numérique ou en modélisation
géométrique), la notion d’ouvert permet d’appréhender la structure locale
d’un espace en s’assurant que chaque point possède un certain "espace de
liberté" avant de toucher les limites de l’ensemble. |
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Les ouverts définissent la notion de voisinage |
La notion d'ouverts et fermés est fondamentale
dans l'étude de voisinage.
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Unions et Intersections |
Les unions de tout ensemble ouvert (même en
infinité) sont ouvertes. Les intersections finie d'ouverts sont ouvertes,
mais une intersection infinie peut ne pas être ouverte Les intersections finie de fermés sont fermées. L'union d'une collection infinie de fermés peut
être fermée. |
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