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Édition du: 31/05/2025 M'écrire Brèves de Maths

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Homéomorphisme et Morphing Comment comprendre l'homéomorphisme en le comparant au morphing bien connu du grand public, notamment illustré par la transformation de visages.
	Sommaire de cette page >>> Homéomorphisme >>> Morphing et Homéomorphisme >>> Comparaison >>> Conclusion	Débutants Géométrie Glossaire Géométrie

C'est à ne rien y comprendre !? Mathématicien perplexe.

C'est déjà mieux pour l'idée, mais pas simple à saisir ! Mathématicien face aux équations de transformation

Homéomorphisme		haut
Homéomorphisme Passage d'un objet à un autre par une déformation continue. Voisin du morphing dans l'idée, mais avec des différences sensibles.	Deux objets sont homéomorphes si l'on peut passer de l'un à l'autre par une déformation continue, que l'on aille dans un sens ou dans l'autre. Un homéomorphisme est une application bijective continue, d'un espace topologique dans un autre, dont la bijection réciproque est continue. Dans ce cas, les deux espaces topologiques sont dits homéomorphes. Pour mieux comprendre, remplacer momentanément "espace topologique" par "objet" et "bijection" par "correspondance point à point".
Image Passage d'un objet en pâte à modeler à un autre en malaxant la motte.	En utilisant de la pâte à modeler, on peut passer d'un objet à l'autre en malaxant la même motte, sans besoin de couper quoi que se soit. Le disque d'une pâte à pizza peut être déformé en un carré. Un bol sans anse peut être écrasé en un cylindre, voire aplati en cube et pourquoi pas arrangé en forme de tablette de chocolat. Source image: Geometry and topology of space-time
Difféomorphime	Le passage du disque au carré ou du cylindre en cube vous inquiète? Ces objets sont bien homomorphes. On peut passer de l'un à l'autre en pétrissant la pâte à modeler. Mais, il faut travailler les coins. En topologie, pour caractériser le lisse ou l'anguleux, on introduit la dérivée de la fonction de transformation et on parle de difféomorphisme.

Voir DicoMot Math: Homéomorphisme, Morphismes

Morphing et Homéomorphisme		haut
Comparaison succincte Dans les deux cas il s'agit de passer d'un objet à un autre par transformation continue. En infographie: le morphing est un procédé qui permet de transformer progressivement une image ou une forme en une autre. En topologie: l'homéomorphisme caractérise deux objets tels que l'on peut passer de l'un à l'autre par transformation continue.	Morphing d'images Homéomorphisme d'objets

Caricature célèbre – Exemple de morphing

Exemple typique d'homéomorphisme

Comparaison

haut

Morphing

Informatique graphique

Homéomorphisme

Topologie

Le morphing est une technique utilisée en infographie et en animation qui permet de transformer progressivement une image ou une forme en une autre.

Par ce procédé, on génère une suite d’images intermédiaires qui assurent la transition fluide du premier dessin vers le second.

Les caractéristiques principales du morphing sont :

Interpolations visuelles : Le procédé s’appuie souvent sur des techniques d’interpolation spatiale et parfois sur l’interpolation de caractéristiques (comme les couleurs ou la texture).

But esthétique : L’objectif est essentiellement de produire un effet visuel agréable ou surprenant, plutôt que de préserver une structure  mathématiquement  exacte.

Non réversibilité formalisée : Contrairement à un homéomorphisme, le morphing cherche principalement à assurer une transition fluide, et sa mise en œuvre algorithmique n’implique pas nécessairement une condition de réversibilité rigoureuse (même si, dans certains contextes, on peut concevoir des transformations réversibles).

Un homéomorphisme est une application entre deux espaces topologiques qui est à la fois continue, bijective, et dont l’inverse est également continu.

En d’autres termes, deux espaces sont homéomorphes s’ils se déforment l’un en l’autre sans qu’aucune rupture ou superposition de points n’intervienne.

Cette notion est fondamentale en topologie : elle permet de classer les espaces selon des propriétés dites « topologiques » (comme la connexité, la compacité, etc.) qui restent invariantes par déformation continue.

Exemple : Une tasse avec anse et un donut sont souvent donnés en exemple pour montrer que, du point de vue topologique, ces deux objets sont équivalents car on peut déformer l’un en l’autre de façon continue sans couper ni recoller.

Aspect	Morphing	Homéomorphisme
Domaine	Informatique graphique – Animation.	Mathématiques – Topologie.
Nature de la transformation	Transition visuelle continue souvent basée sur des interpolations.	Transformation continue et inversible préservant la structure topologique.
Objectif	Créer un effet de transformation esthétique entre deux images.	Établir une équivalence topologique entre espaces.
Exigence de réversibilité	La réversibilité n’est pas forcément formalisée ni requise.	L'inversion doit être continue. C'est une condition essentielle.
Utilisation	Animation: morphing du visage, déformations dynamiques d’objets graphiques.	Classification d’espaces selon leurs propriétés invariantes.

Conclusion

Tandis que l’homéomorphisme est une notion abstraite visant à comprendre la structure des espaces en mathématiques, le morphing est une technique pratique destinée à générer des animations ou des transformations visuelles.

Bien que l’homéomorphisme et le morphing s'appliquent deux disciplines distinctes (topologie et infographie), leur comparaison met en lumière une idée commune : la transformation par déformation continue.

Tandis que les mathématiciens s’intéressent à la préservation totale de la structure dans une transformation rigoureuse, les informaticiens privilégient une transformation visuelle agréable, parfois au prix d’une rigueur formelle moindre.

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Sites	Homéomorphisme – Bibmath Difféomorphisme – Wikipédia
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