Édition du: 31/05/2025 |
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TOPOLOGIE |
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Homéomorphisme et Morphing
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Sommaire de cette page >>> Homéomorphisme >>> Morphing et Homéomorphisme >>> Comparaison >>> Conclusion |
Débutants Glossaire |
C'est
à ne rien y comprendre !? Mathématicien perplexe. |
C'est
déjà mieux pour l'idée, mais pas simple à saisir ! Mathématicien face aux équations de transformation |
Homéomorphisme Passage d'un objet à un autre par une déformation continue. Voisin du morphing dans l'idée, mais avec des différences sensibles. |
Deux objets sont homéomorphes si l'on peut passer
de l'un à l'autre par une déformation continue, que l'on aille dans un sens
ou dans l'autre. Un
homéomorphisme est une application bijective
continue, d'un espace topologique dans un autre, dont la bijection réciproque
est continue. Dans ce cas, les deux espaces topologiques sont dits
homéomorphes. Pour
mieux comprendre, remplacer momentanément "espace topologique" par
"objet" et "bijection" par "correspondance point à
point". |
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Image Passage d'un objet en pâte à modeler à un autre en malaxant la motte. |
En utilisant de la pâte à modeler, on peut passer
d'un objet à l'autre en malaxant la même motte, sans besoin de couper quoi
que se soit. Le disque d'une pâte à pizza peut être déformé en
un carré. Un bol sans anse peut être écrasé en un cylindre,
voire aplati en cube et pourquoi pas arrangé en forme de tablette de
chocolat. Source
image: Geometry and topology
of space-time |
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Difféomorphime |
Le passage du disque au carré ou du cylindre en
cube vous inquiète? Ces objets sont bien homomorphes. On peut passer de
l'un à l'autre en pétrissant la pâte à modeler. Mais, il faut travailler les
coins. En topologie, pour caractériser le lisse ou
l'anguleux, on introduit la dérivée de la fonction de transformation et on
parle de difféomorphisme. |
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Voir DicoMot
Math: Homéomorphisme, Morphismes
Comparaison succincte Dans les deux cas il s'agit de passer d'un objet
à un autre par transformation continue. En infographie: le morphing est un procédé qui permet de transformer progressivement une image
ou une forme en une autre. En topologie: l'homéomorphisme
caractérise deux objets tels que l'on peut passer de l'un à l'autre par
transformation continue. |
Morphing d'images Homéomorphisme d'objets |
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Caricature
célèbre – Exemple de morphing
Exemple
typique d'homéomorphisme
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Morphing Informatique
graphique |
Homéomorphisme Topologie |
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Le morphing est une technique utilisée en infographie et en animation
qui permet de transformer progressivement une image ou une forme en une
autre. Par ce procédé, on génère une suite d’images intermédiaires qui
assurent la transition fluide du premier dessin vers le second. Les caractéristiques principales du morphing sont :
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Un homéomorphisme est une application entre deux espaces topologiques
qui est à la fois continue, bijective, et dont l’inverse est également
continu. En d’autres termes, deux espaces sont homéomorphes s’ils se déforment l’un en l’autre sans qu’aucune rupture ou
superposition de points n’intervienne. Cette notion est fondamentale
en topologie : elle permet de classer les espaces selon des propriétés
dites « topologiques » (comme la connexité, la compacité, etc.)
qui restent invariantes par déformation continue. Exemple : Une tasse avec anse et un donut sont souvent
donnés en exemple pour montrer que, du point de vue topologique, ces deux
objets sont équivalents car on peut déformer l’un en l’autre de façon
continue sans couper ni recoller. |
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Tandis que l’homéomorphisme est
une notion abstraite visant à comprendre la structure des espaces en
mathématiques, le morphing est une technique pratique destinée à générer des animations
ou des transformations visuelles. Bien que l’homéomorphisme et le
morphing s'appliquent deux disciplines distinctes (topologie et infographie),
leur comparaison met en lumière une idée commune : la transformation
par déformation continue. Tandis que les mathématiciens
s’intéressent à la préservation totale de la structure dans une
transformation rigoureuse, les informaticiens privilégient une transformation
visuelle agréable, parfois au prix d’une rigueur formelle moindre. |
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