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Édition du: 31/05/2025 |
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Invariant de Kervaire
Complément
essentiel à la chirurgie topologie. Cet invariant permet de déterminer
si la chirurgie est praticable ou non. En
décembre 2024, une conclusion a
été apportée concernant les variétés de dimension 126, et leur
classification. Cette preuve a été rendue possible grâce à des techniques de
chirurgie topologique sophistiquées. |
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Sommaire de cette page >>> En bref >>> Invariant de Kervaire >>> Annonce de la publication des mathématiciens
chinois |
Débutants Glossaire |
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Chirurgie topologique des variétés Introduite par Milnor et Wallace dans les années
1960, la chirurgie topologique est une méthode pour transformer une variété (penser à surface) en une autre en
enlevant une partie de la variété et en la remplaçant par une autre partie. Cette technique est particulièrement utile pour
classifier les variétés et étudier leurs propriétés. |
Dimension des variétés Le problème de l'invariant de Kervaire en
dimension 126 est désormais résolu. Il s'agit de la dernière dimension pour
laquelle cet invariant était inconnu,
ce qui conclut un programme de calcul de ces invariants vieux de 60 ans. Cet invariant joue un rôle important dans la
classification des sphères exotiques. Michael
Hill, Michael Hopkins et Doug Ravenel avaient résolu ce problème pour
toutes les dimensions autres que 126, mais l'étape finale est restée ouverte
pendant 15 années supplémentaires. |
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Invariant de Kervaire L'invariant de Kervaire a été introduit par
Michel Kervaire
(1927-2007) dans les années 1960 et a
joué un rôle crucial dans la classification des variétés. L’idée est que cet invariant détecte des
"trous" au sein des variétés:
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Historique Michel Kervaire prolonge notamment les travaux de
Lev Pontryagin et du mathématicien Arf. Le problème
de l’invariant de Kervaire consiste à déterminer dans quelles dimensions
une variété différentiable peut avoir un invariant de Kervaire non nul. Il a été démontré que pour les variétés
différentiables cela n’apparaît que dans certaines dimensions spécifiques :
2, 6, 14, 30, 62, et potentiellement 126. En 2009, le mathématicien américain Michael
Hopkins de l'université Harvard et son équipe avaient démontré que
l'invariant de Kervaire n'existait que dans des dimensions allant jusqu'à 126
et n'apparaissaient pas dans les dimensions 254 ou plus, confirmant
l'hypothèse dite de l'apocalypse. |
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La dimension 126 est particulièrement
intéressante car elle est la dernière dimension pour laquelle l'existence de
variétés avec un invariant de Kervaire non nul était inconnue. Récemment, des mathématiciens chinois ont résolu
ce problème en prouvant l'existence de variétés lisses encadrées avec un
invariant de Kervaire égal à 1 dans cette dimension. |
En 2024, Weinan Lin, Guozhen Wang et Zhouli Xu
ont publié un article prouvant que l'élément h62 est un cycle permanent dans la suite
spectrale d'Adams, établissant ainsi l'existence de variétés lisses encadrées
avec un invariant de Kervaire égal à un en dimension 126. Cette découverte résout
le dernier cas non résolu du problème de l'invariant de Kervaire. |
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Annonce de la publication des mathématiciens
chinois
On the Last
Kervaire Invariant Problem – Weinan Lin, Guozhen Wang, Zhouli Xu – 14 dec
2024
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