NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 20/06/2020 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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NOMBRES FIGURÉS

Cas des nombres polygonaux

Liste des premiers nombres polygonaux, nombres figurés dans le plan et dont la base géométrique est un polygone régulier.

Calcul pas à pas de la formule générale des nombres polygonaux (nième m-gonal):

Notations: sur cette page les nombres polygonaux sont notés S; la lettre P habituelle étant réservée ici à la progression arithmétique. Un nombre pentagonal (exemple) est un 5-gonal. En général on dit k-gonal ou, comme ici, m-gonal.

NOMBRE POLYGONAUX
Tableau	Si m est le nombre de côté du polygone, la formule générale s'écrit: Sm(n) = ½ n ( [m – 2] n – [m – 4] ) = ½ (m.n² – 2n² – n.m + 4n) = ½ (n² – n) m – (2n² – 4n) Ex: 5^e hexagonal = ½ (6x25 – 2x25 – 5x6 + 4x5) = ½ (90) = 45
Propriétés	Pour n = 5, ils sont divisibles par 5 et différent entre eux de 10. Progression régulière des différences sur chaque colonne:
Produit en croix	Toutes les différences des produits en croix sont égales et valent le nombre triangle en haut à gauche. Exemple: 18 x 40 – 34 x 21 = 720 – 714 = 6 (le triangulaire en haut)  Valable pour des produits éloignés tels que 18 x 65 – 21 x 55 = 15.

Nombres polygones & somme de nombres
Tableau	Notez que le premier est toujours 1 et le deuxième est m, la quantité de côté du polygone.
Propriétés	On obtient un nombre polygonal en additionnant les premiers termes d'une suite arithmétique >>> On peut arranger le nombre de points en figures géométriques, d'où leur nom.  Les nombres hexagonaux sont aussi triangulaires. Les nombres pentagonaux sont des tiers de nombres triangulaires.

Élaboration de la formule générale
Suite au chapitre ci-dessus, un nombre polygonal est égal à son prédécesseur auquel on ajoute la raison de la progression arithmétique. Celle-ci varie selon le type de polygone à m côtés (appelé m-gone).			Triangulaire r = 1 Carré r = 2 Pentagone r = 3 m-gone r = m – 2
Formules de récurrence pour: La progression arithmétique (P). On ajoute la raison (m-2) au nombre précédent (P de rang n). Le nombre polygonal (S). On ajoute le nombre correspondant de la progression (1 + n(m-2) au nombre précédent (S de rang n).		Progression arithmétique Pm(n+1) = Pm(n) + (m – 2) Ex: P5(4) = P5(3) + 3 = 7 + 3 = 10 Rappel calcul du terme (n+1) d'une progression arithmétique de raison (m-2) commençant par 1: Pm(n+1) = 1 + n(m – 2) Nombre polygonal Sm(n+1)= Sm(n) + Pm(n+1) = Sm(n) + { 1 + (n) (m – 2) } Sm(n+1) = Sm(n) + 1 + n(m – 2) Ex: S5(4) = S5(3) + 1 + 3(5 – 2) = 12 + 1 + 9 = 22
Formule développée du nombre m-gonal		Sm(n) = 1 + {1 + (m–2)} + {1 + 2(m–2)} +… + {1 + (n–1)(m–2)}
Les premières formules Par exemple le 5^e m-gonal a pour formule générale: 10m – 15. Prenons m = 5 pour les nombres pentagonaux, alors le 5e pentagonal est 10 x 5 – 15 = 35.		Voir Table complète et valeurs
Formule générale pour le nième m-gonal Les coefficients de m et le coefficient fixe sont en progression arithmétique. Exemple de calcul avec la formule 10^e hexagonal: n = 10 m = 6. La table donne: 190 La formule donne: S6(10) = (10 x 9 / 2) x 6 + 10² – 2 x10 = 45 x 6 – 80 = 190 Exemple de formule Pour les triangulaires (m = 3) S3 = ½ n(n – 1) x 3 – n² + 2n S3 = ½ (3n² – 3n – 2n² + 4n) S3 = ½ (n² + n)		Coefficients de m La progression est arithmétique de raison 1 et commençant par 0, c'est la somme des entiers Coefficients fixe La progression est arithmétique de raison r = 2 et commençant par a = 3: Formule générale
Comme exercice Calcul des coefficients par utilisation d'un système équations	Exemple avec le coefficient fixe

Bilan

Nous avons établi la formule des nombres polygonaux par deux voies différentes, donnant le même résultat. Extraordinaire, cette formule permet le calcul du nième nombre m-gonal quelque soit m et n.

Voir Table des valeurs des nombres polygonaux

Suite	Fonction génératrices Les nombres géométriques en détail, un par un Introduction aux nombres géométriques Théorie des nombres géométriques Tables de nombres géométriques
Voir	Calcul mental – Index Géométrie – Index Liste des noms des nombres Partition Somme des cubes des entiers TABLES de nombres Théorie des nombres
Site	Nombres figurés de Récréomath Figurate numbers d'Eric Weisstein Absolument intarissable sur le sujet
Livre	Pour développements complets, voir Conway et Guy " The book of numbers " (Le livre des nombres)
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/NbGeome1.htm