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22 Novembre 2025

  

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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BIOGRAPHIE

 

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EUCLIDE

 

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Savants

 

Sommaire de cette page

>>> Euclide

>>> Les Éléments

 

 

EUCLIDE    vers 300 av. J.-C.       Grec - Alexandrie

 

*        Peut-être: 322 ou 330 – 275 av. J.-C.

*        Le père de la géométrie.

 

Euclide, mathématicien grec, auteur du plus célèbre ouvrage de l'histoire des mathématiques, intitulé Les Éléments. Jusqu'à ce siècle, c'était le livre le plus vendu après la Bible. Composé de treize livres, il fut écrit au IIIe siècle av. J.-C. et eut une influence considérable sur la recherche et l'enseignement des mathématiques pendant plus de deux millénaires.

 

En effet, cette œuvre, qui représente la réalisation la plus imposante des mathématiques grecques, a servi de modèle à la construction des mathématiques. En partant de quelques thèses fondamentales et intuitives, on déduit une grande quantité de résultats géométriques de plus en plus complexes, de façon claire et parfaitement rigoureuse sur le plan logique.

 

*        L'un des premiers membres de "l'université d'Alexandrie" sous le pharaon Ptolémée 1er.

*        Publie Les Éléments :

·         « Éléments de géométrie »: vaste synthèse de la géométrie classique grecque qui restera une œuvre de référence pendant 2000 ans.

·         13 volumes, 130 définitions et 465 énoncés.

*        Méthode axiomatique: postulats et déductions.

·         Son fameux 5e postulat: deux parallèles ne se rencontrent jamais.

*        Étudie les sections coniques.

*        Fonde l’école de mathématiques d’Alexandrie.

*        Arithmétique:

·         Si un nombre premier divise un produit, il divise l'un des facteurs.

·         Unicité de la factorisation des nombres: théorème fondamental de l'arithmétique.

·         Il y a une infinité de premiers.

·         Racine de 2 est irrationnel.

·         Méthode de calcul du PGCD: algorithme d'Euclide.

 

 

 

LES ÉLÉMENTS

 

Livres

Contenu

I - IV

Géométrie plane élémentaire.

Voir Construction remarquable

V

Théorie générale des proportions.

VI

Géométrie plane des figures semblables.

VII - IX

Arithmétique.

X

Grandeurs incommensurables et classification des lignes irrationnelles.

XI

Stéréo géométrie élémentaire.

XII

Méthode dite d'exhaustion et comparaison des figures solides simples!

XIII

Partage en extrême et moyenne raison! Construction des cinq polyèdres réguliers.

 

Dans " les Éléments ", Euclide propose dix propositions de départ

et leur applique les règles du raisonnement déductif. Il en déduit des centaines de théorèmes.

 

 

Les 5 axiomes

1

Deux choses égales à une troisième sont égales entre elles.

a = c

b = c

=> a = b

2

Des choses égales ajoutées à des choses égales font des tous égaux.

a = b

c = d

=> a + c = b + d

3

Des choses égales retranchées à des choses égales font des restes égaux.

a = b

c = d

=> a - c = b - d

4

Deux choses qui coïncident l'une avec l'autre sont égales.

 =

5

Le tout est plus grand que la partie.

{( ) … ( )}

 

 

Les 5 postulats - Dans le plan

1

Par deux points, il passe une ligne droite et une seule.

2

Un segment de droite peut être prolongé à l'infini dans les deux directions.

3

De tout point, on peut tracer un cercle de n'importe quel rayon avec ce point pour centre.

Note: Implique que les propriétés locales de l'espace sont partout identiques.

4

Tous les angles droits sont égaux entre eux.

Rappel: Deux droites se coupant forment quatre angles; si ces angles sont égaux, ils sont droits.

5

Deux droites qui coupent une troisième droite avec des angles dont la somme est inférieure à deux angles droits se rencontrent.

Développement >>>

 

 

Les 28 premières propositions d'Euclide sont indépendantes du cinquième postulat. Certains tentèrent de poursuivre cette voie pour démontrer le cinquième postulat. D'autres vont s'en passer pour construire de nouvelles géométries.

 

 

 

 

Le cinquième postulat

 

*    Le cinquième postulat d'Euclide dit que:

 

deux parallèles ne se rencontrent jamais.

 

Autres formulations dont celle d'Euclide >>>

 

*    La remise en cause de ce postulat a conduit à créer diverses géométries.

 

 

*    La découverte à la fin de l'autre siècle que la géométrie d'Euclide n'était pas un attribut divin du monde entraîne d'autres réflexions:

*       Théorie de l'évolution des espèces de Charles Darwin;

*       Origine gazeuse du système solaire pour Simon de Laplace;

*       Théorie de l'espace courbe due à Einstein; ou encore:

*       Développement de nouvelles arithmétiques comme celle des quaternions de William Hamilton (1843).


 

Voir Les trois géométries / Parallèles

 

 

 

Voir

*           Algorithme d'Euclide

*           Construction dorée remarquable

*           Construction du pentagone

*           Crises en mathématique

*            Divine proportion (nombre d'or)

*            Droite

*            Euclide et contemporains

*           Géométrie – Glossaire

*            Géométrie – Index

*           Jeux et énigmes – Index

*           Lemme d'Euclide – Application au binôme

*           Lemme d'Euclide (divisibilité)

*            Les trois géométries

*            Nombre d'Euclide

*            Organon

*           Parallèles

CicoNombre

*           Nombre 5

*            Nombre 13

Sites

*            Les éléments (site anglais)

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