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Coordonnées
du milieu d'un arc de cercle Un cercle, une corde, le milieu de l'arc sous-tendu par
la corde. Comment obtenir les coordonnées de ce point?
Conséquences amusantes … |
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Opération |
Forme littérale |
Application numérique |
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Coordonnée du point milieu P |
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xp = ½
(-7+9) = 1 yp = ½ (7+4) = 5,5 |
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Équation de la droite OP |
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Équation du cercle |
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R² = 9² + 4² = 97 R = 9,85… |
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M (x, y) est sur le cercle et sur OP |
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En égalant les y |
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Au carré pour supprimer le radical |
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Valeur de x |
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Valeur de y |
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y = 5, 5 x 1,7618 =
9,69… |
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Bilan
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Le
calcul des coordonnées du point milieu de l'arc n'est pas très difficile
analytiquement. Un
constat utile pour la suite: la valeur de
x est donnée par une racine. Sauf cas particulier, sa valeur est irrationnelle. |
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Un triangle ABC. Les trois médiatrices des côtés qui coupent
le cercle en A', B' et C'. Le nouveau triangle A'B'C'
subit le même sort: tracé des médiatrices qui coupent le cercle en A",
B" et C"; etc. On forme ainsi une suite de triangles
inscrits dans le cercle. Est-ce que, à un certain moment, un des
nouveaux cercles se retrouvent en position du premier cercle? Sauf cas particulier, non! Et ceci du fait que les coordonnées des
nouveaux points sont irrationnelles. Par contre, phénomène intéressant, les
nouveaux triangles se rapprochent de plus en plus de deux triangles équilatéraux
formant une étoile à six branches. |
Voir Calculs des angles via les
abscisses angulaires et confirmation de la convergence vers le triangle
équilatéral |
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Note: les angles BAA'
et CAA' interceptent des arcs égaux, ils sont
égaux. AA' est la bissectrice de l'angle
BAC, comme BB' et CC'. |
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Merci à J.-L. B pour l'idée de cette page
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Suite |
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Voir |
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