type de nombres: nombres de Fibonacci

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 19/12/2023 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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	Sommaire de cette page >>> Nombres de Fibonacci >>> Généralisation: k-bonacci >>> Listes des n-bonacci >>> Liste des nombres de Fibonacci jusqu'au rang 100 >>> Production et programmation des k-bonacci >>> Polynômes générateurs des nombres k-bonacci

NOMBRES de Fibonacci et k-bonaci

Tous les développements sur les nombres de Fibonacci >>>

Cette page reprend la définition et présente la liste des nombres de Fibonacci et leur généralisation (les k-bonacci). On donne également la manière de les produire.

Les pages sur la décomposition des entiers en nombres de 1 à k montrent comment les k-bonacci sont reliés à la partition des nombres: fonctions génératrices des compositions d'un entier sous contrainte.

Liste des nombres de Fibonacci (en rouge, le centième)

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049, 12586269025, 20365011074, 32951280099, 53316291173, 86267571272, 139583862445, 225851433717, 365435296162, 591286729879, 956722026041, 1548008755920, 2504730781961, 4052739537881, 6557470319842, 10610209857723, 17167680177565, 27777890035288, 44945570212853, 72723460248141, 117669030460994, 190392490709135, 308061521170129, 498454011879264, 806515533049393, 1304969544928657, 2111485077978050, 3416454622906707, 5527939700884757, 8944394323791464, 14472334024676221, 23416728348467685, 37889062373143906, 61305790721611591, 99194853094755497, 160500643816367088, 259695496911122585, 420196140727489673, 679891637638612258, 1100087778366101931, 1779979416004714189, 2880067194370816120, 4660046610375530309, 7540113804746346429, 12200160415121876738, 19740274219868223167, 31940434634990099905, 51680708854858323072, 83621143489848422977, 135301852344706746049, 218922995834555169026, 354224848179261915075, 573147844013817084101, 927372692193078999176, 1500520536206896083277, 2427893228399975082453, …

Famille

Nombre / Dénombrement

NOMBRES de FIBONACCI

Nombres de Bell

Approche

Soit deux nombres racines;

Le suivant est la somme des deux précédents;

Nous avons créé la suite de Fibonacci.

1, 1

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

etc.

Définitions

Suite de nombres dont chacun est la somme des deux précédents

F₀ = 0

F₁ = 1

F_n+1 = F_n + F_n-1

Illustration

Un pavage naturel avec les nombres de Fibonacci

Anglais

The Fibonacci numbers form a sequence defined recursively by

F(n) =	0	for n = 0
	1	for n = 1
	F(n-1) + F(n-2)	for n > 1

Généralisation

Tribonacci

Somme des trois termes précédents.

1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44 … >>>

Tétrabonacci ou Tétranacci

Somme des quatre termes précédents.

1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56 … >>>

k-bonnacci

Somme des k termes précédents

Lucas

Fibonacci avec 1 et 3 au départ.

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47 … >>>

Pell

Deux fois le précédent et une fois celui d'avant.

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70 … >>>

Pell-Lucas

Pell avec 2 et 2 au départ.

2, 2, 6, 14, 34, 82 … >>>

Un nombre trobonaccique est un entier de la suite de Tribonacci

Liste des nombres
Fibonacci 1, 1 2, 1 Premier, 3, 2 Premier, 4, 3 Premier, 5, 5 6, 8 Premier, 7, 13 8, 21 9, 34 10, 55 Premier, 11, 89 12, 144 Premier, 13, 233 14, 377 15, 610 16, 987 Premier, 17, 1 597 18, 2 584 19, 4 181 20, 6 765 21, 10 946 22, 17 711 Premier, 23, 28 657 24, 46 368 25, 75 025	Tribonacci 1, 1 2, 1 3, 2 4, 4 Premier, 5, 7 Premier, 6, 13 7, 24 8, 44 9, 81 Premier, 10, 149 11, 274 12, 504 13, 927 14, 1 705 15, 3 136 16, 5 768 17, 10 609 18, 19 513 19, 35 890 20, 66 012 21, 121 415 22, 223 317 23, 410 744 24, 755 476 25, 1 389 537	Trétrabonacci 1, 1 2, 1 3, 2 4, 4 5, 8 6, 15 Premier, 7, 29 8, 56 9, 108 10, 208 Premier, 11, 401 Premier, 12, 773 13, 1 490 14, 2 872 15, 5 536 16, 10 671 17, 20 569 18, 39 648 19, 76 424 20, 147 312 21, 283 953 22, 547 337 23, 1 055 026 24, 2 033 628 25, 3 919 944	5 – bonacci 1, 1 2, 1 3, 2 4, 4 5, 8 6, 16 Premier, 7, 31 Premier, 8, 61 9, 120 10, 236 11, 464 12, 912 13, 1 793 14, 3 525 15, 6 930 16, 13 624 17, 26 784 18, 52 656 19, 103 519 20, 203 513 21, 400 096 22, 786 568 23, 1 546 352 24, 3 040 048 Premier, 25, 5 976 577
Lucas 1, 1 2, 3 3, 4 Premier, 4, 7 Premier, 5, 11 6, 18 Premier, 7, 29 Premier, 8, 47 9, 76 10, 123 Premier, 11, 199 12, 322 Premier, 13, 521 14, 843 15, 1364 Premier, 16, 2207 Premier, 17, 3571 18, 5778 Premier, 19, 9349 20, 15127 21, 24476 22, 39603 23, 64079 24, 103682 25, 167761 26, 271443 27, 439204	Pell 1, 0 2, 1 Premier, 3, 2 Premier, 4, 5 5, 12 Premier, 6, 29 7, 70 8, 169 9, 408 10, 985 11, 2378 Premier, 12, 5741 13, 13860 Premier, 14, 33461 15, 80782 16, 195025 17, 470832 18, 1136689 19, 2744210 20, 6625109 21, 15994428 22, 38613965 23, 93222358 24, 225058681 25, 543339720 26, 1311738121 27, 3166815962	Pell-Lucas 1, 2 2, 2 3, 6 4, 14 5, 34 6, 82 7, 198 8, 478 9, 1154 10, 2786 11, 6726 12, 16238 13, 39202 14, 94642 15, 228486 16, 551614 17, 1331714 18, 3215042 19, 7761798 20, 18738638 21, 45239074 22, 109216786 23, 263672646 24, 636562078 25, 1536796802 26, 3710155682 27, 8957108166

Liste des nombres de Fibonacci jusqu'au rang 100

Cellules marron: nombres de Fibonacci premiers.

En rouge: le premier en cent, mille, million, milliard …

Le centième Fibonacci

F₁₀₀= 3,5 10²⁰

= 354 224 848 179 261 915 075

= 3 . 5² . 11 . 41 . 101 . 151 . 401 . 3001 . 570 601

Fibonacci et répétition de chiffres

55 est le seul nombre de Fibonacci repdigit.
55 est le plus grand Fibonacci, concaténation de deux Fibonacci.

Les Fibonacci à deux chiffres répétés: 144, 233, 377, 17711 …

Fibonacci de plus en plus de chiffres différents

n, F, quantité de chiffres

3, 2, 1

7, 13, 2

15, 610, 3

17, 1597, 4

21, 10946, 5

31, 1346269, 6

32, 2178309, 7

48, 4807526976, 8

61, 2504730781961, 10

Liste de grands nombres de Fibonacci.

En gros, en passant d'une puissance 10 à la suivante, le nombre Fibonacci voit sa puissance de 10 multipliée par 10.

Voir Calcul avec le formule de Binet

Racine numérique des nombres de Fibonacci

La racine numérique est la somme des chiffres du nombre, éventuellement itérée pour obtenir un nombre à un seul chiffre, comme pour la preuve par neuf.

Les nombres de Fibonacci produisent la suite répétitive suivante:
[(0 puis 9), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1]

Période 24.

Somme de la première période: 108; somme des périodes suivantes avec le 9: 117.

Production des k-bonacci
Les nombres de Fibonacci Tableur Obtenir les nombres de Fibonacci avec un tableur est élémentaire.	Placer les deux premiers 1, l'un sous l'autre, en début de colonne. *Faire la somme des deux cellules précédentes (visualisée en fx, en haut).* Tirer la poignée en bas à droite de la cellule pour reproduite cette somme autant de fois que désiré.
Programmation Sa programmation est assez simple. Ci-contre, un exemple de réalisation avec Scratch. Trois variables A, B et C son créées. Ce programme fait énoncer les nombres de Fibonacci par la jeune fille.

Polynômes générateurs des nombres k-bonacci

Rappel: les k-bonacci sont reliés à la partition des nombres:

fonctions génératrices des compositions d'un entier sous contrainte.

Polynôme générateur de la suite de Fibonacci

Le polynôme visualisé en première ligne bleue. Il s'agit de la division de l'unité par le polynôme (1 – z – z²).

Les coefficients de son développement en série sont les nombres de Fibonacci (deuxième ligne bleue). Identités valables pour z compris entre 0 et 1.

Il suffit de les extraire avec l'instruction coefficients et, les uns après les autres, par l'instruction séquence.

Bipartition (1, 2) – Traitement avec le logiciel Maple

Explications en Polynôme générateur et apparition de la fraction 1/89 / Voir Programmation – Index

Suite

Nombres de Fibonacci – Développements

Les k-bonacci et les partitions

Site

OEIS A000045 – Fibonacci numbers: F(n) = F(n-1) + F(n-2) with F(0) = 0 and F(1) = 1

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPDENOM/Fibonacc.htm