NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Nombres Harshad

>>> Programme de recherche des nombres de Harshad

>>> Nombre Harshad morphique

>>> Nombres de Harshad sympathiques

 

 

 

 

 

Nombres de HARSHAD

ou nombres de NIVEN

ou nombres multinumériques

 

Propriété des nombres face à la somme de ses chiffres.

 

 

 

  

Harshad et Niven

Harshad 

Harshad = grande joie, en sanskrit.

Nom donné par le mathématicien indien Kaprekar.

 

Niven

Lors d'une conférence en 1977, Ivan Niven présente des nombres qui sont divisibles par 2 fois la somme de leurs chiffres.

En 1982, en son honneur, Kennedy baptise les nombres divisibles par la somme de leurs chiffres nombres de Niven.

 

 

 

Approche

 

 Qu'est-ce qu'un nombre de Harshad

 

Analysons la division des 100 premiers nombres (N) par la somme des chiffres de chaque nombre (SC)

Exemple

N         = 12

SC       = 1 + 2 = 3

N / SC = 12 / 3 = 4

 

Lorsque la division tombe juste, comme ici: N est un nombre de Harshad.

 

Illustration

En bleu : la courbe donnant N / SC en fonction de N

En rouge : les nombres de Harshad

 


 

Voir Nombres k fois la somme de ses chiffres / Nombres somme ou produit des chiffres

 

 

 

NOMBRES HARSHAD

Définition

Nombre qui est divisible par la somme de ses chiffres.

Exemple

10 / 1 = 10, 12 / 3 = 4,  18 / 9 = 2, 20 / 2 = 10, 21 /3 = 7, 24 / 6 = 4 …

Liste

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200 …

Chaine de Harshad

510, 511, 512, 513

1014, 1015, 1016, 1017

2022, 2023, 2024, 2025

3030, 3031, 3032, 3033

 

La dernière chaîne de 5 Harshad consécutifs:

131 052, 131 053, 131 054, 131 055, 131 056

 

Bilan

La première chaine de k nombres de Harshad consécutifs se rencontre pour:

H2 = 20; H3 = 110; H4 = 510; H5 = 131 052; H6 = H7 = 10 000 095; H8 = H9 = 124 324 220

Trous de Harshad

17 nombres consécutifs non Harshad

558 – 576, 666 – 684, 736 – 756, 846 – 864, 972 – 990

Années Harshad

1998, 2000, 2001, 2004, 2007, 2010, 2016, 2020, 2022, 2023, 2024…

Harshad complet

Nombre qui est Harshad dans toutes les bases. Ils ne sont que quatre.

1, 2, 4 et 6. 

Anglais: all-Harshad

Propriétés

Il n'existe pas de séquence de plus de 20 nombres Harshad consécutifs. Grundman (1994)

La plus petite séquence de 20 nombres consécutifs contient des nombres à 44 363 342 786 chiffres.

Tous les nombres premiers supérieurs à 10 ne sont pas Harshad.

Toutes factorielles jusqu'à 431! sont nombres de Harshad. 432! ne l'est pas.

Integer sequence

Niven(or Harshad) numbers: numbers: numbers that are divisible by the sum of their digits. (Cette présente page y est citée)

 

 

 

Recherche

Nombre

Exemple

Règle

101 : non

Nombre impair

somme paire.

Aucun nombre impair n'est divisible par un pair.

109 : non

Somme 10

N'est divisible par 10 que si terminé par 0.

104 : non

Somme 5

N'est divisible par 5 que si terminé par 0 ou par 5.

Attention

Les critères de divisibilité doivent être appliqués avec précaution!

108: oui

Somme 9

Divisible par 9. Attention somme 9 rigoureusement et non pas la racine numérique de la preuve par 9.

111: oui

Somme 3

Divisible par 3. Même remarque.

112: oui

Somme 4

et 12 divisible par 4. Même type de remarque.

Voir Démonstration que 108 = 12 (1+0+8)  est le seul divisible 12

 

  

 

Programme de recherche des nombres de Harshad

Deux méthode pour obtenir les chiffres

*      Classique avec divisions successives du nombre par 10 et recueil de l'unité à chaque itération (exemple avec Python).

*      Utilisation de la conversion à base 10 du nombre qui produit la liste des chiffres (Maple)

-------------------------------------------------------------

 

[8,   6 954 784] temps calcul: environ 2 minutes.

[9, 61 574 519]  temps supérieur à la demi-heure.

Voir liste ci-dessous

 

Programme Python – Commentaires

 

Définition de la fonction de recherche des nombres de Harshad.

Somme des chiffres de n (Sch) initialisée à 0.

Le nombre n va être itérativement tronqué de ses unités (nn).

Tant que ce nombre tronqué reste positif, on ajoute l'unité à la somme des chiffres. L'unité est donnée par nn mod 10 (nn % 10) .

Le nombre nn suivant est le quotient (//) de nn courant.

 

Le programme courant constitue une liste des nombres de Harshad dans L.

 

Le programme suivant établit la liste (S) de la quantité de Harshad pour les nombres jusqu'à 10k .

Si n est un Harshad on incrément le compteur kt.

Si n est en 10k , on ajoute (append) la paire k et kt à la liste S en cours.

Impression ce cette liste en fin de programme.

 

Ainsi, il y a 95 419 nombres de Harshad jusqu'à 1 000 000, sans compter les 10 premiers nombres (0 à 9).

 

Quantité de Harshad de:

*      10 à 1000: 204

*        1 à 1000: 213

 

Quantité de nombres de Harshad

Selon la puissance de 10k et à partir de 1 (et 103a en rose) :

 

10,   33,   213,   1 538,   11 872,   95 428,   806 095,   6 954 793,   61 574 510,  

553 007 106,   5 024 332 415,   45 975 917 532,   422 675 487 735,  

3 902 487 368 735,   36 116 199 480 944,   335 270 244 411 437,  

3 128 167 760 734 131,   29 410 615 796 612 778,   278 977 554 117 741 592,  

2 664 295 247 105 153 610,   25 539 536 718 894 979 516,  

 

Source: OEIS – De Koninck

 

 

Programme Maple – Commentaires

 

Boucle de recherche pour n de 10 à 30.

 

La conversion en base 10 de n donne la liste des chiffres de n dans N. La quantité de chiffres (nops) est mémorisée en q.

 

S est l'addition des chiffres de n de rang 1 à q, chacun étant extrait par N[i].

 

Q est le quotient de n par la somme de ses chiffres (définition du nombre de Harshad).

 

Si le quotient est un entier (integer), n est déclaré nombre de Harshad et il est imprimé avec la valeur S, de la somme des chiffres et Q, la valeur du quotient.

 

L'affichage donne les huit nombres de Harshad compris entre 10 et 30.

 

 

 

 

NOMBRE HARSHAD MORPHIQUE


Définition

Somme d'un nombre de Harshad qui termine aussi ce nombre de Harshad.

Sandro Boscaro

 

Exemples: avec les plus petits Harshad (rien avant 910 sinon les unités)

Les Harshad morphiques sont notés en rouge.

 

910

9 + 1 + 0 = 10

910 = 10 x 91

912

9 + 1 + 2 = 12

912 = 12 x 76

915

9 + 1 + 5 = 15

915 = 15 x 61

918

9 + 1 + 8 = 18

918 = 18 x 51

1 810

1 + 8 + 1 + 0 = 10

1 810 = 10 x 181

1 812

1 + 8 + 1 + 2 = 12

1 812 = 12 x 151

1 815

1 + 8 + 1 + 5 = 15

1 815 = 15 x 121

1 818

1 + 8 + 1 + 8 = 18

1 818 = 18 x 101

 

Sans surprise, les suivants sont: 2710, 2712, 2715, 2718, 3610 …

4510 … 5410 …6310… 7210 …811 …9010 … 9920

 

Propriété

 

Il n'y a pas de nombre Harshad morphique terminé par 11 (sauf 11).

 

Premiers nombres de Harshad morphiques Hm

Hm jusqu'à 66 pour les Harshad jusqu'à 108

 

 

 

Anglais: Harshad or Niven morphic numbers

 

 

 

 

Suite

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*         Somme-Produit des chiffresIndex

*           Type de nombres selon ses diviseurs

Sites

*           OEIS A005349 – Niven (or Harshad) numbers

*           OEIS A140866 – Number of Niven numbers <= 10^n (De Koninck)

*         On the number of Niven numbers up to x** – Jean-Marie DeKoninck et Nicolas Doyon – Université de Laval, Québec

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Harshad.htm