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Édition du: 18/12/2020

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Nombres et leurs chiffres

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SP Primaires

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Pratiques

Abondant primitifs

Giuga

Facteurs-Diviseurs

Sigma / rad² = N

S-Parfaits

Admirables

Balancés

Consommables

Zumkeller

 

 

 

NOMBRES INCONSOMMABLES

Nombres panconsommables

 

Nombres cousins des nombres de Harshad qui sont divisibles par la somme de leurs chiffres.

Ici, on cherche quels sont les nombres qui sont de tels quotients.

Autrement-dit: quels sont les nombres n atteignables par la division exacte d'un nombre k par la somme de ses chiffres. Généralisation à toutes les bases b.

 

Sommaire de cette page

>>> Définitions avec des exemples

>>> Consommables en base 10 pour n jusqu'à 100

>>> Exemples de panconsommables

>>> Listes

 

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

Anglais: Inconsummate numbers

 

Définition avec des exemples

haut

 

Consommable et inconsommable

Selon une définition de John Conway

 

 

 

 

Le nombre 47 est consommable en base 10, car il existe au moins un nombre, tel que divisé par la somme de ses chiffres on trouve 47:

*      423 / (4 + 2 + 3) = 423 / 9 = 47

*      846 / (8 + 6 + 4) = 846 / 18 = 47

 

Le nombre 62 est inconsommable car il n'est mais le résultat de la division d'un nombre par la somme de ses chiffres.

 

Panconsommable

Nombre consommable dans toutes les bases.

Le nombre 5 est panconsommable:

*      10 = 10102 et 10 / (1 + 0 + 1 + 0) = 5

*      10 = 1013 et 10 / (1 + 0 + 1) = 5 (vrai pour: 10 15, 20 et 25)

*      30 = 1324 et  30 / (1 + 3 + 2) = 5

Voisins

Les nombres de Harshad sont ceux qui sont divisibles par la somme de leurs propres chiffres.

 

 

Consommables en base 10 pour n jusqu'à 100

haut

 

Nombre n atteint par un nombre k divisé par la somme de ses chiffres.

 

Pour k < 1 000

 

 

 

 

Ceux non atteints

 

 

 

[2, 18], [3, 27], [4, 12], [5, 45], [6, 54], [7, 21], [8, 72], [9, 81], [10, 10], [11, 198], [12, 108], [13, 117], [14, 126], [15, 135], [16, 144], [17, 153], [18, 162], [19, 114], [20, 180], [21, 378], [22, 132], [23, 207], [24, 216], [25, 150], [26, 234], [27, 243], [28, 112], [29, 261], [30, 270], [31, 372], [32, 576], [33, 594], [34, 102], [35, 315], [36, 324], [37, 111], [38, 342], [39, 351], [40, 120], [41, 738], [42, 756], [43, 516], [44, 792], [45, 405], [46, 230], [47, 423], [48, 432], [49, 441], [50, 450], [51, 918], [52, 312], [53, 954], [54, 972], [55, 110], [56, 504], [57, 513], [58, 522], [59, 531], [60, 540], [61, 732], [64, 320], [67, 201], [68, 612], [69, 621], [70, 210], [73, 511], [76, 912], [78, 702], [79, 711], [80, 720], [82, 410], [85, 510], [89, 801], [90, 810], [91, 910], [100, 100]

 

62, 63, 65, 66, 71, 72, 74, 75, 77, 81, 83, 84, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99

 

 

Pour k < 1 000 000

 

 

 

Ceux non atteints

 

 

[66, 1188], [71, 1278], [72, 1296], [74, 1998], [77, 1386], [81, 1458], [83, 1494], [86, 1548], [87, 1566], [88, 1056], [92, 1656], [93, 1674], [94, 1128], [96, 1728], [97, 1164], [98, 1764], [99, 1782]

 

62, 63, 65, 75, 84, 95  >>>

 

 

 

Exemples de panconsommables ou non

haut

 

Table pour les nombre d e1 à 15

Toutes les possibilités d'atteindre un nombre n de 1 à 15 par la division d'un nombre k par la somme de ses chiffres en base b.

 

Exemple avec la première ligne: 3,  6,  2,  [0,  1,  1],  2,  3
Le nombre 3 est atteint grâce au nombre 6 qui, en base 2, s'écrit  [1, 1 ,0] ou comme le calcule les logiciels [0,1, 1]; la somme des chiffres vaut: 0 + 1 + 1 = 2 et 6/2 = 3

 

Toutes les bases: on vérifie si le nombre est atteint par un nombre k dans chacune des bases de 2 à n – 1, si oui, la dernière base est notée en rouge. C'est le cas jusqu'à 12. Avec le nombre 13, il y des manques (bases 2 et 6); ce nombre n'est pas panconsommable. 

 

 

n, k, b, [k base b], s, q

3,  6,  2,  [0,  1,  1],  2,  3

4,  4,  2,  [0,  0,  1],  1,  4

4,  16,  3,  [1,  2,  1],  4,  4

5,  10,  2,  [0,  1,  0,  1],  2,  5

5,  10,  3,  [1,  0,  1],  2,  5

5,  15,  3,  [0,  2,  1],  3,  5

5,  20,  3,  [2,  0,  2],  4,  5

5,  25,  3,  [1,  2,  2],  5,  5

5,  30,  4,  [2,  3,  1],  6,  5

6,  12,  2,  [0,  0,  1,  1],  2,  6

6,  12,  3,  [0,  1,  1],  2,  6

6,  24,  3,  [0,  2,  2],  4,  6

6,  18,  4,  [2,  0,  1],  3,  6

6,  48,  5,  [3,  4,  1],  8,  6

7,  21,  2,  [1,  0,  1,  0,  1],  3,  7

7,  21,  3,  [0,  1,  2],  3,  7

7,  35,  3,  [2,  2,  0,  1],  5,  7

7,  21,  4,  [1,  1,  1],  3,  7

7,  28,  4,  [0,  3,  1],  4,  7

7,  35,  4,  [3,  0,  2],  5,  7

7,  42,  4,  [2,  2,  2],  6,  7

7,  63,  4,  [3,  3,  3],  9,  7

7,  28,  5,  [3,  0,  1],  4,  7

7,  42,  5,  [2,  3,  1],  6,  7

7,  70,  6,  [4,  5,  1],  10,  7

8,  8,  2,  [0,  0,  0,  1],  1,  8

8,  32,  3,  [2,  1,  0,  1],  4,  8

8,  24,  4,  [0,  2,  1],  3,  8

8,  32,  5,  [2,  1,  1],  4,  8

8,  64,  5,  [4,  2,  2],  8,  8

8,  40,  6,  [4,  0,  1],  5,  8

8,  96,  7,  [5,  6,  1],  12,  8

9,  18,  2,  [0,  1,  0,  0,  1],  2,  9

9,  9,  3,  [0,  0,  1],  1,  9

9,  18,  3,  [0,  0,  2],  2,  9

9,  54,  4,  [2,  1,  3],  6,  9

9,  27,  5,  [2,  0,  1],  3,  9

9,  36,  5,  [1,  2,  1],  4,  9

9,  45,  5,  [0,  4,  1],  5,  9

9,  54,  5,  [4,  0,  2],  6,  9

9,  63,  5,  [3,  2,  2],  7,  9

9,  72,  5,  [2,  4,  2],  8,  9

9,  99,  5,  [4,  4,  3],  11,  9

9,  45,  6,  [3,  1,  1],  5,  9

9,  54,  7,  [5,  0,  1],  6,  9

9,  81,  7,  [4,  4,  1],  9,  9

9,  126,  8,  [6,  7,  1], 14,  9

10,  20,  2,  [0,  0,  1,  0,  1],  2,  10

10,  40,  3,  [1,  1,  1,  1],  4,  10

10,  80,  3,  [2,  2,  2,  2],  8,  10

10,  20,  4,  [0,  1,  1],  2,  10

10,  40,  4,  [0,  2,  2],  4,  10

10,  50,  4,  [2,  0,  3],  5,  10

10,  60,  4,  [0,  3,  3],  6,  10

10,  40,  5,  [0,  3,  1],  4,  10

10,  50,  6,  [2,  2,  1],  5,  10

10,  100,  6,  [4,  4,  2],  10,  10

10,  60,  7,  [4,  1,  1],  6,  10

10,  80,  7,  [3,  4,  1],  8,  10

10,  70,  8,  [6,  0,  1],  7,  10

10,  160,  9,  [7,  8,  1],  16,  10

11,  55,  2,  [1, 1, 1, 0, 1, 1],  5,  11

11,  33,  3,  [0,  2,  0,  1],  3,  11

11,  77,  3,  [2,  1,  2,  2],  7,  11

11,  33,  4,  [1,  0,  2],  3,  11

11,  66,  5,  [1,  3,  2],  6,  11

11,  88,  5,  [3,  2,  3],  8,  11

11,  44,  6,  [2,  1,  1],  4,  11

11,  55,  6,  [1,  3,  1],  5,  11

11,  66,  6,  [0,  5,  1],  6,  11

11,  77,  6,  [5,  0,  2],  7,  11

11,  88,  6,  [4,  2,  2],  8,  11

11,  99,  6,  [3,  4,  2],  9,  11

11,  66,  7,  [3,  2,  1],  6,  11

11,  77,  8,  [5,  1,  1],  7,  11

11,  88,  9,  [7,  0,  1],  8,  11

11,  132,  9,  [6,  5,  1],  12,  11

11,  198,  10,  [8,  9,  1],  18,  11

12,  24,  2,  [0,  0,  0,  1,  1],  2,  12

12,  48,  3,  [0,  1,  2,  1],  4,  12

12,  36,  4,  [0,  1,  2],  3,  12

12,  96,  5,  [1,  4,  3],  8,  12

12,  60,  6,  [0,  4,  1],  5,  12

12,  72,  7,  [2,  3,  1],  6,  12

12,  84,  8,  [4,  2,  1],  7,  12

12,  96,  9,  [6,  1,  1],  8,  12

12,  108,  10,  [8,  0,  1],  9,  12

12,  240,  11,  [9,  10,  1],  20,  12

13          2 /

13,  39,  3,  [0,  1,  1,  1],  3,  13

13,  65,  3,  [2,  0,  1,  2],  5,  13

13,  78,  3,  [0,  2,  2,  2],  6,  13

13,  52,  4,  [0,  1,  3],  4,  13

13,  78,  4,  [2,  3,  0,  1],  6,  13

13,  91,  4,  [3,  2,  1,  1],  7,  13

13,  26,  5,  [1,  0,  1],  2,  13

13,  52,  5,  [2,  0,  2],  4,  13

13,  65,  5,  [0,  3,  2],  5,  13

13,  78,  5,  [3,  0,  3],  6,  13

13,  91,  5,  [1,  3,  3],  7,  13

3          6 /

13,  52,  7,  [3,  0,  1],  4,  13

13,  65,  7,  [2,  2,  1],  5,  13

13,  78,  7,  [1,  4,  1],  6,  13

13,  91,  7,  [0,  6,  1],  7,  13

13,  91,  8,  [3,  3,  1],  7,  13

13,  182,  8,  [6,  6,  2],  14,  13

13,  104,  9,  [5,  2,  1],  8,  13

13,  130,  9,  [4,  5,  1],  10,  13

13,  156,  9,  [3,  8,  1],  12,  13

13,  117,  10,  [7,  1,  1],  9,  13

13,  156,  10,  [6,  5,  1],  12,  13

13,  195,  10,  [5,  9,  1],  15,  13

13,  130,  11,  [9,  0,  1],  10,  13

13,  195,  11,  [8,  6,  1],  15,  13

13,  286,  12,  [10,  11,  1],  22,  13

14,  42,  2,  [0, 1, 0, 1, 0, 1],  3,  14

14,  28,  3,  [1,  0,  0,  1],  2,  14

14,  56,  3,  [2,  0,  0,  2],  4,  14

14,  56,  5,  [1,  1,  2],  4,  14

14,  84,  7,  [0,  5,  1],  6,  14

14,  98,  8,  [2,  4,  1],  7,  14

14,  112,  9,  [4,  3,  1],  8,  14

14,  224,  9,  [8,  6,  2],  16,  14

14,  126,  10,  [6,  2,  1],  9,  14

14,  140,  11,  [8,  1,  1],  10,  14

14,  154,  12,  [10,  0,  1],  11,  14

14,  336,  13,  [11,  12,  1],  24,  14

15,  60,  2,  [0, 0, 1, 1, 1, 1],  4,  15

15,  30,  3,  [0,  1,  0,  1],  2,  15

15,  45,  3,  [0,  0,  2,  1],  3,  15

15,  60,  3,  [0,  2,  0,  2],  4,  15

15,  75,  3,  [0,  1,  2,  2],  5,  15

15,  90,  4,  [2,  2,  1,  1],  6,  15

15,  30,  5,  [0,  1,  1],  2,  15

15,  60,  5,  [0,  2,  2],  4,  15

15,  90,  5,  [0,  3,  3],  6,  15

15,  75,  6,  [3,  0,  2],  5,  15

15,  75,  8,  [3,  1,  1],  5,  15

15,  90,  8,  [2,  3,  1],  6,  15

15,  105,  8,  [1,  5,  1],  7,  15

15,  120,  8,  [0,  7,  1],  8,  15

15,  135,  8,  [7,  0,  2],  9,  15

15,  150,  8,  [6,  2,  2],  10,  15

15,  165,  8,  [5,  4,  2],  11,  15

15,  180,  8,  [4,  6,  2],  12,  15

15,  255,  8,  [7,  7,  3],  17,  15

15,  120,  9,  [3,  4,  1],  8,  15

15,  240,  9,  [6,  8,  2],  16,  15

15,  135,  10,  [5,  3,  1],  9,  15

15,  150,  11,  [7,  2,  1],  10,  15

15,  225,  11,  [5,  9,  1],  15,  15

15,  165,  12,  [9,  1,  1],  11,  15

15,  180,  13,  [11,  0,  1],  12,  15

15,  270,  13,  [10,  7,  1],  18,  15

15,  390,  14,  [12,  13,  1],  26,  15

 

 

Listes

haut

 

Inconsommables

en base 10 (décimal)

 

62, 63, 65, 75, 84, 95, 161, 173, 195, 216, 261, 266, 272, 276, 326, 371, 372, 377, 381, 383, 386, 387, 395, 411, 416, 422, 426, 431, 432, 438, 441, 443, 461, 466, 471, 476, 482, 483, 486, 488, 491, 492, 493, 494, 497, 498, 516, 521, 522, 527, 531, 533, 536

 

Inconsommables

en base 2 (binaire)

 

13, 19, 25, 26, 35, 38, 47, 49, 50, 52, 55, 67, 70, 76, 94, 95, 97, 98, 100, 103, 104, 109, 110, 115, 117, 131, 134, 140, 151, 152, 157, 159, 171, 175, 179, 183, 185, 187, 188, 190, 193, 194, 196, 199, 200, 203, 206, 208, 217, 218, 220, 227, 229

 

Plus petit inconsommables en base b

C'est 13 en binaire ou

           62 en décimal

 

13, 17, 29, 16, 27, 30, 42, 46, 62, 68, 86, 92, 114, 122, 147, 154, 182, 192, 222, 232, 266, 278, 314, 326, 367, 380, 422, 436, 482, 498, 546, 562, 614, 632, 688, 704, 762, 782, 842, 862, 926, 948, 1014, 1036, 1107, 1130, 1202, 1226, 1302, 1328, 1406, 1432

 

Inconsommables

pour certaines bases

 

13, 16, 17, 19, 22, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 35, 38, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 55, 56, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 70, 71, 74, 75, 76, 79, 80, 82, 83, 84, 86, 87, 88, 90, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105

 

Panconsommables

Liste probablement complète avec ces 66 nombres

 

 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 23, 24, 31, 34, 36, 37, 39, 40, 43, 45, 53, 54, 57, 59, 61, 69, 72, 73, 77, 78, 81, 85, 89, 91, 121, 127, 144, 166, 169, 211, 219, 231, 239, 257, 267, 271, 331, 337, 353, 361, 413, 481, 523, 571, 661, 721, 1093, 1291, 3097.

 

 

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*       Panconsummate numbers – Numbers aplenty

*       OEIS A003635 – Inconsummate numbers in base 10: no number is this multiple of the sum of its digits (in base 10)

*       OEIS A058898 – Inconsummate numbers in base 2: no number is this multiple of the sum of its digits (in base 2)

*       OEIS A058906 – Inconsummate numbers in base 11: no number is this multiple of the sum of its digits (in base 11)

*       OEIS A052491 – Smallest "inconsummate number" in base n: smallest number such that in base n, no number is this multiple of the sum of its digits

*       OEIS A058225 – Numbers that are inconsummate to some base

*      OEIS A058226 – Panconsummate numbers (consummate in all bases >=2)

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