NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PUISSANCE de 2

 

Débutants

Puissance

Nombres de

Fermat et Mersenne

 

Glossaire

Puissance

 

 

INDEX

 

Puissance

Décomposition

Puissance de 2

 

FERMAT  (biographie)

MERSENNE (biographie)

Nombres de Fermat

Nombres de Mersenne

Valeurs et facteurs

Valeurs et facteurs

Diviseurs

Sommaire de cette page

>>> Récapitulatif

>>> Premier ou composé

>>> Diviseurs

>>> Fermat & Mersenne

 

 

 

 

NOMBRES de FERMAT

Diviseurs

 

 

Les diviseurs sont également des puissances de 2 plus 1.

 

 

 

PREMIER ou COMPOSÉ

 

*    En 1640, Fermat, affirma que: si je tiens un nombre premier et qu'il est en puissance de deux plus un, alors c'est un nombre Fermat

*    L'exposant de la puissance de 2 est à son tour une puissance de 2.

*    Il avait raison. Mais, la réciproque n'est pas vraie.
 


Si   
P = 2k + 1

Alors      k = 2n

Voir Nombres en puissance de 2

 

 

Les nombres en 2k + 1

 

Observation

 

*    Ils ne sont premiers que si k est une puissance de 2. Et c'est très rare. on ne connait que les cinq nombres de Fermat.

*    Sur ce tableau, ces nombres sont montrés en jaune. Ils correspondent touts à une puissance de 2 pour k.

*    Le départ est prometteur, mais la production de nombres premiers s'arrête à la cinquième puissance de 2.

 

En jaune les nombres premiers
 

 

Domaine pour N = 2k +1

 

*    Si k, l'exposant de la puissance de deux, n'est pas une puissance de 2, alors N n'est pas premier.

*    S'il est puissance de deux (nombres de Fermat), alors N est souvent composé;

*    sauf pour k de 0 à 4 (Fermat premiers),

*    et peut –être pour k très grand.

 

 

 

 

DIVISEURS

 

Tout diviseur premier de Fn  est de la forme: 2n+1 . k + 1

 

Exemple

F5

 641

 

6 700 417

=  641 x 6 700 417

=  64   x 10 + 1

=  2 5+1 x 10 + 1

=  64 x 104694 + 1

Analyse

 

*    2n+1 est l'exposant minimum: on peut faire mieux!

*    F5 , F6 et F7  ont chacun 2 diviseurs connus.
On retranche 1, et on divise par les puissances de 2 successives.

 

Exemple

 

640 / 21

640 / 22

640 / 27

= 320

= 160

 

=  5

Ce diviseur de F5 est divisible par 27 et 7 = 5 + 2.

 

Exploration

 

*    Sur la ligne Fn , on donne les diviseurs D moins 1: Ex: 640 = 641 – 1.

*    La colonne 2 donne l'exposant i de la puissance de 2.

*    Les colonnes 3 et 4 donnent les quotients: (D – 1  / 2i

 

 

Généralisation

 

Tout diviseur de Fn est de la forme: 2m k + 1,

avec k impair et m  n + 2

 

*      La recherche des diviseurs des grands nombres de Fermat utilise cette propriété.
 

 

 

FERMAT & MERSENNE

 

 

Un nombre de Fermat n'est jamais produit de deux nombres de Mersenne.

 

Fx  My . Mz 

22^x + 1  (2x – 1) (2y – 1)

 

Démonstration

 

La démonstration est effectuée dans le monde du modulo 3.

Si la situation est impossible en modulo 3, elle l'est a fortiori sans modulo.

Calcul sur le nombre de Fermat.

22^x + 1 = 22t + 1 = (2²)t + 1 =  4t + 1

Modulo 3.

 1 + 1  2 mod 3

Alors que pour Mersenne, le modulo vaut 0 pour x pair et 1 pour x impair.

2x – 1  0 ou 1 mod 3

2y – 1  0 ou 1 mod 3

Et, pour le produit des deux nombres de Mersenne:

(2x – 1) (2y – 1)  0 ou 1 mod 3 

En rapprochant les deux résultats:

Égalité jamais possible

 

 

 

Suite

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Voir

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