conjecture de Goldbach, partition des nombres en premiers

La décomposition des nombres en sommes a toujours été une source d'émerveillement, tout comme celle des nombres en produits. Il existe une conjecture donnant une décomposition très simple Pourtant elle n'est toujours pas démontrée. Après Fermat, la conjecture de Goldbach est l'un des problèmes les plus importants de la recherche des mathématiciens.

Voir Réponse d'Euler (le 30 juin) et historique

Voir Somme de deux premiers

INTRODUCTION - Parallèle entre Addition et Multiplication
Nombres & Multiplication	Nombres et Addition
Décomposition en produits de facteurs premiers	Partition en sommes de nombres premiers
Existe toujours; Le produit est unique; Fondamentale en arithmétique.	Plusieurs formulations; Plusieurs solutions; Plutôt un défi entre mathématiciens.
Théorème fondamental de l'arithmétique: les nombres premiers comme briques de construction de tous les autres par multiplication.	Conjecture de Goldbach: les nombres premiers en quantité réduite comme briques de construction de tous les autres par addition?

Voir Nombres premiers

Conjecture de Goldbach

Nombres PAIRS

égal somme de

deux nombres premiers

pour n > 2

Nombres IMPAIRS

égal somme de

trois nombres premiers

pour n > 5

PAIRS

Pas démontrée;

Jamais infirmée à ce jour ;

L'un des problèmes les plus étudié.

IMPAIRS

Ne peux pas être somme de 2 premiers.

Car tous les premiers > 2 sont impairs et,
impair + impair = pair

Impair > 5 est toujours somme:

d'un seul impair s'il est premier,

d'un impair premier et un pair, ou

d'un impair premier et de deux premiers

Soit, au plus, somme de trois nombres premiers.

Elle est fausse pour 2 = 1 + 1

Elle est vraie pour 4 = 2 + 2

NB. les nombres premiers peuvent être répétés.

Elle est fausse pour 3 = 1 + 1+1

Elle est vraie pour 7 = 2 + 2 + 3

NB. Avec deux premiers, on a 5 = 2 + 3

Voir 1 n'est pas premier

La conjecture sur les impairs est déduite de celle sur les pairs

Un nombre impair plus grand ou égal à 7 (= 4 + 3) est toujours égal à un nombre pair plus 3.

Impair = Pair + 3

Or supposons que tout nombre pair plus grand que 4 soit somme de deux nombres premiers. Alors:

Impair = Premier + Premier + 3, soit somme de trois premiers.

Dès que c'est possible le nombre 3 peut être remplacé par n'importe quel autre nombre premier, ce qui induit une quantité innombrable de sommes de trois premiers pour les nombres impairs.

Recherche de la preuve

Dans un article du 31 janvier 2012 intitulé Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes , Terence Tao montre que chaque nombre impair peut s'écrire comme somme de cinq nombres premiers au plus.

En mai 2013, Harald Helfgott prépublie sur arxiv une preuve de la conjecture. À ce jour cette preuve n'a pas été publiée dans une revue à comité de lecture. Voir Historique

Voir Historique / Recherche de la preuve

EXEMPLES – Tables pour N < 25

Pair = Premier + Premier

Le nombre n pair (si n > 2) est somme de deux premiers, au moins une fois.

Impair = Premier + Premier

Le nombre n impair n'est pas la somme de 2 nombres premiers. Seuls les impairs premiers séparés de 2 unités possèdent cette propriété. Ce sont les nombres premiers jumeaux.

Impair = Premier + Premier + Premier

Le nombre n impair (si n > 5) est somme de trois premiers, au moins une fois.

Une table d'addition originale

Voir Suite de cette table et autres types de représentations

Quantité de décompositions pour n < 100

Compte tenu de la quantité croissante des partitions, on pourrait penser que la démonstration de la conjecture ne devrait pas poser de problème. Et pourtant si!

Fonction quantité de partitions

La fonction qui donne la quantité de sommes pour un nombre pair (E, comme even) est nommée r(N).

Exemple: 100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53 soit six possibilités. Alors r(100) = 6.

Évidemment les permutations (comme 97 + 3) ne sont pas comptées.

Voir Comète de Goldbach

Quantité de décompositions autour de 1 000

Cas de 1 000

r(1 000) = 28 sommes de 2 premiers

Cas de 999

r(999) = 770 sommes de 3 premiers

Cas de 1 001

r(1 001) = 1 095 sommes de 3 premiers

Cas de 5 779 (par exemple)

5 779 n'est pas somme de deux premiers. C'est impossible, car la somme de deux nombres premiers est toujours paire, sauf avec 2 et 5 777 (composé: 5 777 = 53 x 103).

5 776 est la somme de deux premiers 63 fois. Donc, 5 779 = 5776 + 3 est au moins somme de trois premiers 63 fois.

5 779 est en fait la somme de trois premiers 16 886 fois. Exemples: (3, 2 879, 2 897), (3, 2 837, 2 939) … (199, 2 039, 3 541) … (1 913, 1 933, 1 933)

Note: le fait que 5 779 soit premier importe peu pour la conjecture de Goldbach.

Bilan

Il est assez paradoxal que la conjecture de Goldbach ne soit pas démontrée avec:

Un libellé si simple !

Une observation qui montre que la quantité de cas de décomposition semble croître avec n.

English corner

The Goldbach conjecture asserts that every even integer greater than 2 is the sum of two primes. Stated by Christian Goldbach in 1742, verified up to 10¹⁸ at least, this conjecture has evaded all attempts at proof.

Ternary Goldbach conjecture (TGC): at least it seems that every number that is greater than 2 is the sum of three primes.

Strong or binary Goldbach conjecture (BGC): all positive even integers 4 can be expressed as the sum of two primes.

Goldbach partition: two primes (p, q) such that p + q = 2n for n, a positive integer.

Suite	Représentations graphiques des sommes Partitions
Voir	Conjecture – Glossaire Bi, tripartitions Fermat Modulo & Congruences Nombres Premiers
Revues	Goldbach, une conjecture résistante par Élisabeth Busser – Tangente – Juillet-août 2013 Goldbach et les sommes de nombres premiers par Olivier Ramaré – La Recherche – Juin 2013
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/GoldbaIn.htm