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Édition du: 15/12/2024 |
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INDEX |
Histoire moderne des maths |
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Deux conjectures résolues en 2024 L'année 2024 a
été riche en événements mathématiques:
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Sommaire de cette page >>> Pham Tiep >>> 1-Conjecture de Brauer: zero-height
conjecture >>> 2-Calcul de la trace de la matrice >>> Théorie des représentations >>> Monstrous Moonshine |
Débutants Glossaire |
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a résolu deux problèmes mathématiques en 2024 |
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Découvertes Pham Tiep est un mathématicien de l’Université
Rutgers du Nouveau-Brunswick. Il est parvenu à résoudre une énigme complexe
laissée de côté depuis des décennies. Il vient en effet de trouver la
solution à deux problèmes mathématiques vieux de plus de 60 ans. Ces découvertes, bien que très abstraites,
pourraient transformer notre compréhension des symétries
et des processus aléatoires dans des domaines comme la physique,
l’informatique et même l’économie. Il a fallu plus de dix ans à Tiep pour aboutir à
la résolution de la conjecture, publiée dans les Annals of Mathematics. |
Pham Tiep (1996-)
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Nouveau-Brunswick au Canada
Langues
officielles: français et anglais |
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Deux problèmes résolus La conjecture de Bauer dite "zero-height
conjecture, relative aux groupes finis, ces groupes "atomiques" à
partir desquels tous les autres sont formés (un peu comme les facteurs premiers
pour les nombres entiers) >>> La deuxième avancée concerne un calcul optimisé
de la trace des matrices, la somme des valeurs de la diagonale des matrices
carrées >>> Ces domaines confinent avec le groupe Monstre, le
plus gros des groupes finis >>> |
En termes simples Comment transformer des formes géométriques complexes
en tableaux de chiffres (matrices), simplifiant ainsi des structures qui
seraient autrement difficilement compréhensibles. Même si ce procédé semble abstrait, il est
essentiel pour modéliser les formes complexes et en débusquer des symétries cachées.
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Travail d'équipe Tiep n'a pas accompli ces prouesses tout seul. Il a collaboré avec plusieurs mathématiciens
éminents, comme Gunter Malle d'Allemagne et Gabriel Navarro d'Espagne sur la
conjecture de Brauer, ainsi qu'avec Robert Guralnick aux États-Unis sur les
travaux sur les traces. |
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Théorie des groupes finis L’un des problèmes résolus par Tiep a été posé
par Richard Brauer (1901-1977)
en 1955, un mathématicien germano-américain Elle concerne la théorie des groupes
finis, un domaine qui étudie les structures
d’objets mathématiques et comment ils se comportent ensemble. En termes simples, Tiep a découvert une règle
cachée qui nous aide à mieux comprendre l’organisation et les symétries de la
nature et de la science. Cette découverte aide les scientifiques à mieux
comprendre les règles qui gouvernent des systèmes complexes et des processus
naturels. Par exemple, cette théorie pourrait un jour être
utilisée pour décrire des phénomènes naturels, améliorer les systèmes de cryptographie ou
optimiser des algorithmes
en informatique. |
Symétrie et complexité La théorie des groupes et la théorie des
représentations sont essentielles dans l’étude des symétries. Ces symétries se retrouvent dans la nature (des
molécules aux cristaux) et sont également utilisées pour coder des messages
sécurisés et créer des systèmes de correction d’erreurs dans les
télécommunications. En suivant les principes de la théorie des
représentations, les mathématiciens peuvent également prendre des formes
géométriques complexes et les transformer en tableaux de chiffres. Cela peut être réalisé en identifiant certains
points qui existent dans chaque forme tridimensionnelle ou supérieure et en
les convertissant en nombres placés dans des lignes et des colonnes
(matrices). Cela permet de décomposer ces formes et de les traiter
d’une manière plus simple. |
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Maths La conjecture stipule que pour un groupe fini G
et un premier p, si un bloc B a un groupe de défauts D, alors la hauteur de
chaque caractère irréductible dans B est nulle si et seulement si D est abélien (commutatif). La conjecture est importante car elle donne un
aperçu de la structure des groupes finis et de leurs représentations. |
Preuve La preuve de la conjecture de hauteur zéro de
Brauer a été achevée en 2024. Parmi les principaux contributeurs à la preuve
figurent Gunter Malle, Gabriel Navarro, Amanda Schaeffer Fry et Pham Huu Tiep.
La preuve implique plusieurs réductions à des
groupes simples finis et l’établissement de la conjecture pour les nombres
premiers impairs. |
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Calcul de la trace des matrices Tiep a aussi trouvé une nouvelle manière de
résoudre des problèmes liés aux traces des
matrices, la somme des chiffres qui se trouvent sur la diagonale d'une matrice
carrée. Les matrices
et leurs propriétés sont utilisées dans de nombreux domaines scientifiques et
technologiques. Que ce soit pour analyser des données en grandes
quantités, simuler des processus physiques complexes ou encore crypter des
informations, comprendre les matrices est essentiel. Cette avancée concerne la théorie de
Deligne-Lusztig (1976), un outil fondamental en théorie de
représentations. |
Intérêts, applications La résolution de problèmes complexes liés à la
théorie des groupes et aux matrices pourrait influencer la conception de
nouveaux matériaux, optimiser les réseaux de télécommunication ou encore
améliorer les algorithmes d’intelligence
artificielle. |
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La théorie des représentations est une branche
des mathématiques
Représentation d'objets algébriques abstraits en
décrivant:
Applications aux objets tels que:
La théorie des représentations modulaires étudie les représentations linéaires
de groupes finis sur un corps K de caractéristique positive p, nécessairement
un nombre premier. La caractéristique est une notion définie à partir
des éléments neutres du corps. En plus d'avoir des applications à la théorie des
groupes, les représentations modulaires apparaissent naturellement dans d'autres
branches des mathématiques, telles que la géométrie algébrique, la théorie du
codage, la combinatoire et la théorie des nombres. |
Voir Connexions entre
domaines mathématiques
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