NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Accueil

 

Sommaire

Introduction

Triangles et carrés

Définition

Types de groupes

Groupe cyclique

Nombres

 

Sommaire de cette page

>>> Structures algébriques

>>> Ensembles

>>> Groupes

>>> Anneaux

>>> Corps

 

 

 

 

NOMBRES & GROUPES,

anneaux et corps

(structures algébriques des ensembles)

 

Propriétés des nombres accompagnés des opérations.

Bilan également avec polynômes, matrices et fonctions.

 

 

Structures algébriques

 

Groupe (G, x) ou (G, )

Définition

*           Un ensemble (G)  et une opération (+ ou x), notée avec un petit rond.

*           L'opération est associative (a x b) x c = a x (b x c).

*           Éléments neutre unique e : a x e = e x a.

*           Inverse unique a-1: a x a-1 = a-1 x a  = e.

Types

*           Abélien si l'opération est commutative.

 

Anneau (A, +, x) ou (A, +, )

 

Approche

Un ensemble d'objets, comme des nombres, dont les éléments peuvent s'ajouter, se soustraire et se multiplier, est appelé un anneau s'il est stable par ces opérations, autrement dit si toute somme, différence ou produit de deux éléments est encore dans l'ensemble.

L'ensemble des entiers relatifs est un anneau.

 

Définition

*           Un ensemble (A)  et deux opérations (+ et x).

*           Avec l'addition le groupe est abélien dont l'élément neutre est 0, appelé le zéro de l'anneau.

*           La multiplication est associative: (a x b) x c = a x (b x c).

*           La multiplication est distributive par rapport à l'addition:
         (a + b) x c = a x c + a x b
          a x (b + c) = a x b + a x c

Types

*           Commutatif si la multiplication est commutative.

*           Unitaire si la multiplication a un élément neutre 1, appelé unité de l'anneau.

 

Corps (K, +, x) ou (K, +, )

Définition: le corps est un anneau amélioré

*           Un ensemble K, anneau unitaire

*           L'ensemble avec la multiplication, privé du 0, est un groupe

Types

*           Commutatif si la multiplication est commutative.

 

Anglais: GroupGroupe, RingAnneau and Division ring or FieldCorps commutatif when commutative

Voir Corps et ses sous-ensembles

 

 

 

ENSEMBLES

*     Entiers naturels; Entier non négatifs (0, 1, 2 …)

* ou

*     Entiers positifs (1, 2 …) sans le 0.

*     Entiers positifs et négatifs   (… -2, -1, 0, 1, 2 …)

*     Ensemble des restes (résidus) de la division par n

*     Décimaux

*     Rationnels

*     Réels

*     Complexes

*     Un des ensembles: Z, Q, R ou C

*     Un des ensembles: Q, R ou C ( Z non compris)

*     Polynômes dans Z, Q, R ou C

M

*     Matrices dans Z, Q, R ou C

F

*     Fonctions dans R

Notes:

*     Un ensemble noté avec astérisque (*) est un ensemble privé du 0:   

*     L'opération "multiplication" est notée x ou  ou encore  ou .

Voir Ensembles de nombres

 

 

 

GROUPE ou non (notations avec les lettres classiques)

Ensembles

Opération

Groupe

Neutre

Symétrique*

Abélien

N

+

Non

 

(n'existe pas)

 

Z

+

Oui

0

–a

Oui

Zn

+

Oui

0

–a mod n

Oui

Q

+

Oui

0

–a

Oui

R

+

Oui

0

–a

Oui

C

+

Oui

0 + 0 .i

–a – i.b

Oui

K(x)

+

Oui

0

 

Oui

M

+

Oui

Matrice nulle

 

Oui

F

+

Oui

Fonction nulle

 

N

x

Non

 

(n'existe pas)

 

Z ou Z*

x

Non

 

(n'existe pas)

 

Zn*

x

Non

 

(n'existe pas)

 

K(x)*

x

Non

 

 

 

Q ou R

ou C

x

Non

 

(0 n'est pas inversible)

 

P*

x

Non

 

 

M*

x

Non

 

 

Q* ou R*

x

Oui

1

1/a

Oui

C*

x

Oui

1

1/z

Oui

F*

x

Oui

Fonction constante

(E)

Oui

Ensemble des permutations de E

 

 

Remarques

* Le symétrique s'appelle opposé pour l'addition et inverse pour la multiplication.

*     Les deux ensembles avec la multiplication (N, x)  et (Z, x) ne sont pas des groupes car, dans ces ensembles, un nombre n'a pas d'inverse.

*     Il faut englober les fractions de Q ou R pour avoir les inverses des nombres 1/a (Ex: a = 2 => inverse =1/2 =0,5).

 

 

ANNEAU

Ensembles

Opérations

Anneau

Commentaires

Z

+ , x

Oui

Les ensembles (Z,+, x) sont des anneaux commutatifs et unitaires.

L'anneau des entiers.

K

+ , x

Oui

Les ensembles (K,+, x) sont des anneaux commutatifs et unitaires.

K (x)

+ , x

Oui

Les ensembles (K(x) ,+, x) sont des anneaux commutatifs et unitaires.

M

+ , x

Oui

Les ensembles (M ,+, x) sont des anneaux non-commutatifs et unitaires.

F

+ , x

Oui

Les ensembles (F ,+, x) sont des anneaux non-commutatifs et unitaires.

+ , x

Oui

Entiers algébriques.

Z[i]

+ , x

Oui

Entiers de Gauss.

+ , x

Oui

a + b

Voir Anneau commutatif Z/mZ

 

 

CORPS

Ensembles

Opérations

Anneau

Commentaires

Z

+ , x

Non

 

R*

+ , x

Oui

Le corps des réels.

K'

+ , x

Oui

Les ensembles (K',+, x) sont des corps commutatifs.

K' (x)

+ , x

Non

 

M

+ , x

Non

 

F

+ , x

Oui

Les ensembles (F ,+, x) sont des corps

 

Historique

Anneau: L'appellation est de David Hilbert (1897).
Gauss et Hamilton connaissait déjà implicitement cette notion. C'est Richard Dedekind, qui le premier a isolé le concept repris par Hilbert.

 

 

 

 

 

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*         Résumé sur les structures algébriques des ensembles avec opérations (.pdf)

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